رفتن به نوشته‌ها

سیتپـــــور مطالب

صورت‌بندی‌های مکانیک کلاسیک، قسمت یک

این میم بهونه خوبیه که در مورد روش‌های متفاوتی که میشه مکانیک کلاسیک رو ارائه کرد حرف زد. پس توی این نوشته، بدون پرداختن به مکانیک کوانتومی، سراغ فرمول بندی‌های مدرنی میریم که برای توصیف حرکت داریم.

صورت‌بندی نیوتون

نخستین فرمول بندی همان‌چیزی است که همه ما در مدرسه با آن آشنا شده‌ایم؛ صورت‌بندی نیوتون. نیوتون با ارائه سه قانون، چارچوبی کلی برای مطالعه حرکت معرفی کرد. با پذیرفتن این سه قانون، می‌شود حرکت ذرات غبار در هوا یا حرکت سیارات و کهکشان‌ها را با دقت خوبی توضیح داد و پیش بینی کرد. به طور خلاصه به کمک قوانین نیوتون می‌توانیم بگوییم زمین چگونه به دور خورشید می‌چرخد و اگر توپی را با فلان سرعت پرتاپ کنیم، کی به کجا می‌رسد.

قانون اول نیوتون در مورد ناظر است. این قانون می‌گوید برای داشتن درک درستی از حرکت اجسام، کسی که آن‌ها را مشاهده می‌کند هم مهم است. در واقع نیوتون قوانین حرکتش را برای ناظرهایی ارائه می‌دهد که در ابتدای امر تکلیف آن‌ها را مشخص کرده: ناظرهای لَخت. تعریف ساده ناظر لخت این گونه است: اگر جسمی را منزوی کنیم جوری که هیچ جسم دیگری روی آن اثری نگذارد، آن موقع، ناظر مورد نظر ما آنی است که ببیند جسم با سرعت ثابتی حرکت می‌کند. قاعدتا سرعت صفر‌(بی‌حرکتی) هم شامل این مورد می‌شود. بعد از مرور قانون دوم دوباره به این قانون فکر کنید. قانون اول از قانون دوم نتیجه نمی‌شود!

به دنبال قانون اول، قانون دوم نیوتون شیوه ترجمه اثرات خارجی وارد بر یک جسم به تغییرات سرعت آن را توضیح می‌دهد. بیان ریاضی این قانون معادله‌ی دیفرانسیل مرتبه دویی است که در یک طرف آن تغییرات تکانه جسم و طرف دیگر آن همه اطلاعات مربوط به اثرات خارجی را در قالب کمیت برداری به اسم نیرو قرار می‌دهد. دراینجا، تکانه جسم، حاصل‌ضرب کمیتی ذاتی به اسم جرم جسم در سرعت آن است. جرم جسم $m$ در این قانون، پارامتری است که آهنگ تغییرات سرعت جسم $\dot{\textbf{v}}$ به واسطه نیروهای وارد شده به آن یعنی $\textbf{F}$ را کنترل می‌کند.

$$\textbf{F} = m \frac{d^2\textbf{x}}{dt^2} = m\dot{\textbf{v}}$$

در فیزیک رسم است که مشتق زمانی یک کمیت را با گذاشتن یک نقطه‌ بالای آن نشان می‌دهیم. این‌که چرا قانون دوم توسط یک معادله دیفرانسیل مرتبه دو توصیف می‌شود، چیزی است که طبیعت انتخاب کرده. با این وجود این انتخاب برای ما تا حدودی خوشایند است. از لحاظ ریاضی تفسیر این معادله این است که اگر ما بدانیم بر جسمی چه نیروهایی وارد می‌شود و سرعت و مکان آن را در هر لحظه بدانیم، دیگر نیازی نیست اطلاعات بیشتری داشته باشیم تا حرکت آن جسم را توصیف کنیم. یعنی مکان و سرعت در یک لحظه تمام اطلاعات اولیه‌ای است که به آن‌ها نیاز داریم و بقیه اطلاعات دیگر را می‌توانیم حساب کنیم. زیباست. نه؟!

قانون سوم نیوتون را به شیوه‌های مختلفی می‌شود بیان کرد که حتما در مورد آن شنیده‌اید. آن‌چه که برایتان شاید جالب باشد این است که این قانون کامل نیست. منظور از کامل نبودن این است که در بعضی مسائل به تنهایی توصیف درستی ارائه نمی‌کند. چرا و چگونه‌اش بماند برای بعد. چیزی که الان مهم است این است که به واسطه قانون سوم نیوتون می‌شود روشی برای مقایسه و اندازه گیری جرم اجسام گوناگون پیدا کرد. پس به لطف این قانون، تکلیف جرم جسم مشخص می‌شود. حالا کافی است که نیروها را مشخص کنیم. آن‌موقع به واسطه قانون دوم می‌توانیم حرکت یک جسم را توصیف کنیم. مشکل این‌جاست که قوانین نیوتون به تنهایی این کار را برای ما انجام نمی‌دهند. یعنی در کنار این سه قانون، باید صورت‌بندی‌هایی برای نیروهای مختلف هم پیدا کنیم. خوش‌بختانه به نظر می‌رسد که تعداد نیروهای بنیادی از شمار انگشتان یک دست کمترند. در زندگی روزمره‌ ما، نظریه‌های گرانش و الکترومغناطیس تقریبا همه نیروهای وارد بر اجسام را توصیف می‌کنند. به طور خلاصه، هر بار که چیزی می‌افتد به خاطر گرانش است و هر چیز دیگر تقریبا منشا الکترومغناطیس دارد از جمله بالا بردن اجسام توسط بازوی ما یا آسانسور منزل!

حالا ما می‌توانیم طبیعت را توصیف کنیم. یا دست کم حرکت در طبیعت را تا وقتی که اثرات کوانتومی یا نسبیتی وارد نشده‌اند را با دقت خوبی توضیح دهیم.

اما این فقط یک روایت از طبیعت است. ما می‌توانیم این داستان را جور دیگری هم بیان کنیم. یعنی می‌شود حرکت اجسام را جور دیگری هم صورت‌بندی کرد بدون این‌که با صورت‌بندی نیوتون ناسازگار از آب درآیند. صورت‌بندی‌هایی که همین حرف‌ها را با ریاضیات متفاوتی بیان کنند و چه بسا قدرت عمل بیشتری به ما در محاسبات و تعمیم ایده‌ها — فرای مکانیک استاندارد — هم دهند.

آرامگاه نیوتون در کلیسای وست‌مینستر لندن

اصل کم‌ترین کنش و روش لاگرانژ و همیلتون

فرض کنید شما سامانه‌ای را در یک لحظه می‌بینید. سپس چشمانتان را برای مدت کوتاهی می‌بندید، دوباره باز می‌کنید و در لحظه‌ جدید سامانه را در موقعیت جدیدش مشاهده می‌کنید. برای مثال، توپی را تصور کنید که در لحظه اول در نقطه پنالتی و در لحظه بعدی در کنج دروازه جا گرفته. حالا تمام مسیرهایی که توپ ممکن است بین این دو لحظه طی کرده باشد را تصور کنید. مثلا یک مسیر این است که توپ مستقیم از نقطه پنالتی به کنج دروازه رفته باشد. یک مسیر ممکن دیگر این است که توپ روی منحنی هیجان‌انگیزتری حرکت کرده و به کنج دروازه نشسته. یک مسیر هم می‌تواند این باشد که توپ به هوا رفته، چرخیده و دست آخر برگشته و وارد دروازه شده. حالا فرض کنید، به هر کدام از این مسیرها کمیتی نسبت می‌دهیم به نام کُنِش و ما کنش همه مسیرها را در جدولی یادداشت می‌کنیم.

هیچ‌کس تا به حال ندیده که ضربه پنالتی به عقب برود و سپس به درواز برگردد. منطقی نیست. یا به عبارتی این مسیری نیست که طبیعت اجازه طی شدنش را بد‌هد وقتی شخصی به سمت دروازه ضربه می‌زند. پس قرارداد می‌کنیم که مسیری مجاز است که توسط طبیعت انتخاب شود و طبیعت مسیری را انتخاب می‌کند که کمترین (اکسترمم) کنش را داشته باشد. به این قاعده، اصل کمترین کنش یا اصل همیلتون می‌گویند. در عمل، همان‌طور که برای پیدا کردن نقاط اکسترمم توابع مشتق پذیر، به دنبال ریشه‌های مشتق آن تابع می‌گردیم، اینجا هم ایده‌هایی مشابه وجود دارد که نیاز نباشد همه مسیرها را امتحان کنیم. حالا فرض کنید که مسیری که کمترین کنش را دارد را پیدا کرده‌ایم. پس اگر اندکی آن‌را تغییر دهیم نباید کنش مسئله تغییر چشم‌گیری کند. درست همان‌طور که مثلا تابع $y = x^2$ در نقطه صفر که کمینه آن است تغییر چندانی نمی‌کند.

کنش $S$ را به صورت ریاضی می‌توانیم به صورت انتگرال زمانی تابع دیگری به نام $L$ بنویسم. چرا؟ چون این کَلک خوبی است که در ادامه از آن لذت‌ خواهیم برد! اسم انتگرال‌ده را هم به احترام آقای لاگرانژ و زحماتی که برای این صورت‌بندی پیش‌تر از خیلی‌ها انجام داده لاگرانژی می‌گذاریم. لاگرانژی تابعی از مکان، سرعت و احیانا زمان است. کلا بنا را هم بر این بگذارید که داریم بازی ریاضی می‌کنیم با این ایده که گویی لاگرانژی اطلاعات مربوط به ویژگی های ذاتی جسم و برهم‌کنش‌های آن با دیگر ذرات و موجودات دیگر را دارد و ما می‌خواهیم همه این اطلاعات بین دو زمان مشخص را به کنش نسبت دهیم. پس می‌نویسیم

$$S = \int^{t_2}_{t_1} L(q , \dot q, t) \, dt. $$

تا اینجا هیچ کار عجیبی نکرده‌ایم. فرض کرده‌ایم چیزی وجود دارد به اسم کنش که به صورت یک انتگرال تعریف می‌شود. همین‌طور از مختصات تعمیم یافته $q$ و $\dot q$ برای نشان دادن مکان و سرعت استفاده کرده‌ایم گویی می‌خواهیم از مختصه جدیدی به جای مثلا $x$ استفاده کنیم.

حالا می‌خواهیم ببینیم مسیر بهینه که اسمش را می‌گذاریم $q_{c(t)}$ چگونه به دست می‌آید. طبق چیزی که تعریف کرده‌ایم، مسیر بهینه باید کنش را کمینه (یا به عبارت فنی‌تر اکسترمم) کند. پس تحت تغییرات بینهایت کوچک مسیر، کنش متناظرش نباید تغییر خاصی کند. درست مانند وقتی که مشتق توابع پیوسته — که نشان‌دهنده تغییرات آن توابع هستند — در نقاط بیشینه یا کمینه‌شان صفر هستند. پس بیاید تغییرات کنش را حساب کنیم و برابر با صفر قرار دهیم

$$ \delta S = \int^{t_2}_{t_1} dt \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q \right) = 0. $$

با فرض این که ابتدا و انتهای مسیر را مشخص کرده‌ایم کافی است به کمک کَلَک انتگرال‌گیری جز به جز ادامه دهیم.

$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} dt \left( \delta q_{(t)} \frac{\partial L}{\partial q} + \frac{d}{dt} \left( \delta q_{(t)} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) – \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \delta q_{(t)} \right) $$

جمله میانی به راحتی از انتگرال خارج می‌شود. با کنار هم قرار دادن جمله اول و سوم خواهیم داشت

$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} dt \, \delta q_{(t)} \left( \frac{\partial L}{\partial q} – \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \right) + \delta q_{(t)} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \Big|_{t_1}^{t_2} $$

جمله ی آخر صفر است چون که ابتدا و انتهای مسیر را ثابت کرده‌ایم. البته می‌شد این انتخاب را انجام نداد و از جملات مرزی در مواردی استفاده کرد. اما برای این نوشته همین قدر جزئیات کافی است. از آن جا که $\delta q_{(t)}$ تغییراتی دلخواه است و برای مثال می‌تواند فقط در زمان دلخواه $t$ غیر صفر (تقریبا و با اغماض شبیه دلتای دیراک) باشد، انتگرالده‌مان باید در هر لحظه صفر باشد. پس کمینه کردن کنش، $\delta S =0$، نتیجه می‌دهد

$$ \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) $$

این معادله همان چیزی است که بالای سر مرد عنکبوتی وسطی ابتدای این نوشته قرار دارد و در جامعه فیزیک مشهور است به معادله اویلر–لاگرانژ. این معادله معادلات حرکت را نتیجه می‌دهد. درست مانند قانون دوم نیوتون.

ولی لاگرانژی واقعا چیست؟ این سوال کمابیش در زبان نیوتونی مثل آن است که بپرسیم چه نیروهایی بر جسم وارد می‌شوند. برای پاسخ به این پرسش نیاز به شناخت سیستم و برهم‌کنش‌های آن داریم. مثلا برای ذره‌ای که در حال حرکت تحت یک پتانسیل است، لاگرانژی این سیستم برابر با با اختلاف انرژی جنبشی و پتانسیل آن ذره است. توجه کنید که لاگرانژی کمیتی نرده‌ای است،‌ برخلاف نیرو که کمیتی برداری است. از لحاظ ریاضی کار کردن با کمیت‌های نرده‌ای خیلی راحت‌تر است. این اولین حسن صورت‌بندی جدید است. همین طور توجه کنید که از لحاظ ابعادی، لاگرانژی بعد انرژی دارد. نکته دیگری که بد نیست بدانید این است که خیلی از اوقات لاگرانژی را بنا بر یک سری تقاضاهای فیزیکی مانند تقارن های حاکم بر سیستم حدس می‌زنیم. برای دیدن چند مثال در این مورد به این نوشته نگاه کنید: تقارن،قوانین پایستگی و اِمی نٌودِر.

منتظر ادامه این نوشته باشید.

اما اگر عجله دارید، این ویدیوها و این کتاب‌ را نگاه کنید:

علم چگونه ممکن است؟! فروکاست گرایی چیست؟

ویراستار: متن پیش رو نخستین بار توسط این نویسنده در سی‌ و سومین‌ شماره‌ی تکانه (نشریه علمی-آموزشی دانشجویان فیزیک دانشگاه صنعتی شریف) آمده. نویسنده از آقای علی گودرزی، آقای دکتر سامان مقیمی، آقای حسین مهدئی و آقای امیرحسین پیله‌وریان و همچنین خانم حانیه ملکی تشکر می‌کند.

برای درک بهتر این نوشته، سیتپور شنیدن این پادکست را پیشنهاد می‌کند:

How Is Science Even Possible? | THE JOY OF WHY |

فروکاست‌گرایی

فروکاست‌گرایی یا تقلیل‌گرایی باوری فلسفی است که همه‌ی قوانین حاکم بر طبیعت را می‌توان با تعداد کمی از «قوانین بنیادی» توصیف کرد. به‌عنوان مثال، این باور احتمالا رایج که رفتار یک سامانه دارای تعداد زیادی «ذره» (به‌عنوان مثال جعبه‌ای شامل تعداد زیادی مولکول گاز یا رفتارهای موجودی زنده که از تعداد زیادی مولکول تشکیل شده‌ است) را می توان از طریق برآیند رفتار تک‌تک ذرات توصیف کرد، که البته حقیقت بدیهی‌ای به نظر نمی‌آید، از این باور فلسفی نشأت می‌گیرد. مثلا بیوفیزیک‌دانان در مقیاس «بنیادی‌تری» نسبت به زیست‌شناسان کار می‌کنند و تلاش می‌کنند برخی رفتارهای موجودات زنده را از طریق فیزیک حاکم بر مولکول‌ها و مواردی از این قبیل توصیف کنند. در این مقاله به طور خاص به فروکاست‌گرایی در فیزیک و بخشی از تأثیر آن در روند پیشرفت علم فیزیک می‌پردازیم.

 از نظر تاریخی احتمالا این باور از حدود زمان گالیله و نیوتن به طور جدی‌تر وارد فیزیک شده ‌است. شاید معروف‌ترین شاهد آن تلاش نیوتن برای نوشتن قانون گرانش باشد؛ او سعی کرد به قانونی برسد که  تمام برهمکنش‌های گرانشی را توضیح دهد. تلاش او در این راستا بود که حرکت سیارات، سقوط اجسام بر روی زمین و مواردی از این دست را بتواند با یک قانون واحد توضیح دهد. یک نکته‌ی قابل بحث این است که به نظر نمی‌آید الزامی برای «وجود» قانونی واحد باشد که همه‌ی برهمکنش‌های گرانشی را توضیح دهد.  به نظر می‌آید از نظر تاریخی، در ادامه و بعد از زمان گالیله و نیوتن‌ این نگرش به مرور بیشتر وارد فیزیک شده ‌است. چند الگوی جالب و مشخص‌تر در برخی اتفاقات پررنگ‌ مربوط به این دیدگاه در علم فیزیک مشاهده می‌شود که به آن‌ها خواهیم پرداخت (هر چند که این دسته‌بندی شامل همه الگوها نمی‌شود و لزوما یکتا نیست).

نظریه موثر

زیاد پیش می‌آید که در فیزیک، نظریه‌ی توجیه کننده‌ای پدیده‌ای — که با مشاهدات تعارض خاصی ندارد — را به عنوان نظریه‌ی موثر یک نظریه‌ی بنیادی‌تر بنویسند. یکی از معروف‌ترین تلاش‌ها در این راستا ساختن مکانیک آماری است، که کل نظریه‌ی ترمودینامیک را به مکانیک بس ذره‌ای تقلیل می‌هد و تلاش می‌کند با روش‌های آماری، ترمودینامیک را به عنوان نظریه‌ی موثری از مکانیک نیوتنی و بعد از آن مکانیک کوانتومی بسازد. هر گاه بین نظریه‌ی به نسبت پذیرفته شده موجود و مشاهدات (تجربه) تعارضاتی مشاهده شود، فیزیکدان‌ها تلاش می‌کنند تا با رعایت اصل هم‌خوانی، نظریه‌ی جدیدی بسازند؛ به این معنا که نظریه‌ی جدید باید در حالات حدی مشخصی نتایج نظریه‌ی سابق را مجنر شود. مثلا نظریه‌ی نسبیت یا مکانیک کوانتومی که در پی هم‌خوان نبودن مشاهدات تجربی با نظریه‌های کلاسیک ساخته شدند در حدهایی نتایج مکانیک کلاسیک را بازتولید می‌کند. به هر حال، نظریه‌ مکانیک کلاسیک کامل نیست ولی در برخی حدود بسیار خوب کار می‌کند. به قول فاینمن، علم در مورد این نیست که چه چیز درست یا نادرست است، بلکه در مورد این است که ما چه چیز را با چه دقتی می‌توانیم توصیف کنیم. مکانیک کلاسیک برای سرعت‌های پایین یا اندازه‌های خاصی در اکثر موارد با دقت خوبی با مشاهدات ما هم‌خوانی دارند. نظریه‌های پیشرفته‌تری چون مکانیک کوانتومی و نسبیت هم در این حدود تبدیل می‌شوند به مکانیک کلاسیک. گاهی نظریه‌های جدید برای از بین بردن تعارضات دو نظریه جا افتاده تهیه می‌شوند. مثلا سوای مشاهدات آزمایش مایکلسون – مورلی، نسبیت خاص به دنبال بهبود نظریه مکانیک کلاسیک برای هم‌خوانی با نتایج نظریه الکترومغناطیس ساخته شد.

پدیدارگی

گاهی در سامانه‌های بس‌ذره‌ای ویژگی‌های جدیدی اصطلاحا«پدیدار می‌شوند» بی‌آن‌که ذرات سازنده آن سامانه آن ویژگی یا ویژگی‌ها را در خود داشته باشند. از طرف دیگر، رفتار برخی سامانه‌ها در سطوح مختلف را بدون دانستن سطوح بالاتر یا پایین‌تر آن می‌توان فهمید. پدیدارگی یا پدیدار شدگی به به‌وجود آمدن ویژگی‌های یک سامانه در سطوح بالاتر پیچیدگی اشاره دارد که در تک تک اجزای آن در سطح پیچیدگی کمتر قابل مشاهده نیست و فقط در برآیند کل سامانه و با در نظر گرفتن کل اجزا و برهمکنش‌هایشان می‌توان آن‌ها را دید. فیلیپ اندرسون در مقاله‌‌ای با عنوان «بیشتر، متفاوت است» این ایده را مطرح کرد که برای درک برخی از پدیده‌ها، پرداختن به نظریه‌های «بنیادی‌تر» لزوما سودمندتر نیست. مثلا انتظار می رود که علی‌الاصول کل شیمی را از فیزیک بس‌ذره‌ای بتوان را استخراج کرد. اندرسون این ایده را مطرح می‌کند که این نظریه‌های موثر که در سطوح پیچیدگی بالاتری ساخته می‌شوند باید (از نظر خودش) به همان اندازه «بنیادی» تلقی شوند که نظریه‌های با سطح پیچیدگی کمتر تلقی می‌شوند، چون عملا بسیاری از اوقات «بنیادی‌ترین» چیزی هستند که با آن می‌توان مشاهدات را توصیف کرد. اندرسون از این دیدگاه  انتقاد می‌کند که گاهی تنها به فیزیکدانان ذرات بنیادی به عنوان کسانی که کار «بنیادی» می‌کنند نگاه می‌شود، اما نظریه‌های ذرات بنیادی در عمل نمی‌توانند بسیاری از پدیده‌هایی که مشاهده می‌کنیم و حاصل برهمکنش تعداد زیادی ذره هستند را توصیف کنند. 

یکی دیگر از موارد قابل ذکر این است که نظریه‌های در سطوح پیچیدگی بالاتر خیلی اوقات برگرفته و حاصل تقریباتی از نظریه‌های بنیادی‌تر هستند و کاملا بدون اتکا به آن‌ها نیستند. در واقع برای ساده‌تر شدن مدل و معادلات خیلی از این نوع نظریه‌ها تقریباتی را وارد می‌کنند و با در نظر گرفتن اصل نظریه بنیادی‌تر، از بسیاری از پیچیدگی‌ها صرف نظر می‌کنند. به عنوان مثال می‌توان به مدل هابارد در فیزیک ماده چگال اشاره کرد. در این مدل از برهمکنش الکترون‌های غیر نزدیک صرف نظر می‌شود و مقدار پتانسیل حاصل از برهمکنش الکترون‌های نزدیک هم به عنوان تابعی از بقیه‌ی پارامترها وارد مدل نمی‌شود. در این مورد مثلا ایده‌ی تقریب را می‌توان در قانون کولن دید، به دلیل رابطه‌ی عکس پتانسیل با فاصله، از پتانسیل ناشی از الکترون‌های در فواصل دور از هم صرف‌نظر می‌شود. در سامانه‌های پیچیده هم از این جنس ایده‌ها استفاده می‌شود. فایده‌ی این کار این است که با اجتناب از درگیر محاسبات گاهی طولانی شدن، می‌توان راحت‌تر به استنتاج نتایج حاصل از مدل پرداخت. البته میزان کارا بودن مدل ساده‌سازی شده باید با نتایج آزمایش‌ها مطابقت داده شود.   

نکته‌ی دیگری که وجود دارد بحث سودمند بودن یا نبودن توصیف پدیده‌های پیچیده توسط نظریه‌های با سطح پیچیدگی کمتر است. فرض کنید بتوان با کامپیوترهای آینده سامانه‌های بس‌ذره‌ای را با نظریه‌های در سطح اتم‌ها حل عددی کرد. مشکلی که وجود دارد این است که حجم اطلاعات به دست آمده به این صورت بسیار زیاد است و بسیاری از آن‌ها را نمی‌توان به طور مستقیم در پدیده‌هایی که نیاز به توصیفشان را داریم مشاهده کرد. مثلا یک ظرف گاز را در نظر بگیرید. حتی اگر معادلات حرکت حاکم بر تک تک ذرات را بتوانیم به صورت کلاسیک حل کنیم، مشکل بعدی این هست که چیزی که مشاهده می‌کنیم مکان تک تک ذرات نیست. تابعیت زمان مکان تک تک ذرات برای توصیف یک سامانه ترمودینامیکی کارایی خاصی ندارد. حتی در این حالت هم باید دنبال کمیت‌های موثری بگردیم، کمیت‌هایی که در این سطح از پیچیدگی پدیدار می‌شوند و سعی کنیم از حل عددی معادلات حرکت همه‌ی ذرات به طریقی به آن‌ها برسیم. در ترمودینامیک کمیت‌هایی مثل فشار و دما از این جنس هستند. 

یکی ازمشکلاتی که گاهی از نظر عملی به تلاش برای توصیف یک سامانه با تعداد کمی پارامتر توسط نظریه‌های در سطح پیچیدگی بالاتر وارد می‌شود، این است که این کار بسیار ساده‌انگاری دارد و همیشه نمی‌توان کل سامانه بس‌ذره‌ای را توسط تعداد کمی کمیت موثر توصیف کرد. دکتر خرمی در مقاله‌ای که در زمینه‌ی فروکاست‌گرایی نوشته‌اند اینطور استدلال می‌کنند که این نکته نسبتا بدیهی‌ است. می‌توان تعداد کمیت‌های موثر را بیشتر کرد (و حتی مثلا تمام ذرات گاز را در نظر گرفت) ولی به این قیمت که میزان محاسبات بیشتر شود. وقتی محدودیت توان و انرژی داشته باشیم، این نهایت کاری است که می‌توانیم بکنیم. اگر در آینده این محدودیت‌ها کمتر شد، و البته نیاز به دقت بیشتری وجود داشت، می‌توان محاسبات را دقیق‌تر کرد و آن‌ها را با نظریه‌های با سطح پیچیدگی کمتری پیش برد. مثالی که در مقاله‌شان به آن اشاره می‌کنند در مورد هواشناسی است. اینکه در گذشته به دلیل کم‌قدرت‌تر بودن کامپیوترها مجبور بودند محاسبات را ساده‌تر کنند به این قیمت که دقت پیشبینی‌ها کم می‌شد و همچنین مقیاس زمانی‌ای که پیشبینی‌ها تا آن تا حد معقولی کار می‌کردند کمتر می‌شد. ولی این نهایت کاری بود که می‌توانستند بکنند و اصطلاحا «از هیچ چیز بهتر بود». اما بعدا با قدرتمندتر شدن کامپیوترها و ابزارهای محاسبه پیشبینی‌ها بهتر شدند و تا مقیاس زمانی بزرگ‌تری قابل اتکا بودند.

هم‌آغوشی راه‌شیری و آندرومدا:‌ برخورد دیگری در راه است!

کهکشان راه‌شیری امروزی ما حاصل ادغام کهکشان باستانی راه‌شیری با عمر حدود ١٣ میلیارد سال و یک کهکشان کوچک‌تر به نام گایا-انسلادوس است که حدود ١٠ میلیارد سال قبل، با یکدیگر برخورد کردند و باهم کهکشان بزر‌گتر امروزی را تشکیل دادند. البته این تنها برخورد کهکشانی برای راه‌شیری نبوده و برخورد دیگری در راه است؛ این بار با کهکشان آندرومدا، نزدیک‌ترین کهکشان همسایۀ بزرگ به ما.

با بزرگ‌تر شدن تلسکوپ‌ها و بالاتر رفتن کیفیت تصاویر در چند دهه اخیر، قاب‌های جذابی از کهکشان‌های در حال ادغام در فواصل مختلف در عالم ثبت شده. اتفاقی که ممکن است برای کهکشان‌های مجاور یکدیگر به‌دلیل برهمکنش‌های گرانشی رخ بدهد. آندرومدا حدود ٢.۵ میلیون سال نوری از راه‌شیری فاصله دارد و با سرعت بسیار زیاد در حدود ٣٠٠ کیلومتر بر ثانیه، در حال نزدیک شدن به ما است (جهت مقایسه، سرعت زمین به دور خورشید حدود ۳۰ کیلومتر بر ثانیه هست). بنابراین تخمین زده می‌شود که تا حدود ۵ میلیارد سال دیگر، این دو کهکشان باهم برخورد خواهند کرد و یک هم‌آغوشی کهکشانی را رقم خواهند زد!

در برخورد کهکشان‌ها، خیلی بعید است که ستار‌ها با یکدیگر مستقیماً برخورد کنند؛ چون فواصل ستاره‌ها در داخل کهکشان‌ها از هم بسیار زیاد و فضای خالی میان‌ستاره‌ای در مقایسه با ابعاد ستاره‌ها، خیلی خیلی بزرگ‌تر است. برای منظومۀ شمسی ما، از این بابت، اتفاقی نخواهد افتاد. اما تا زمان برخورد دو کهکشان، سوخت خورشید تمام و تبدیل به یک غول سرخی می‌شود که شاید زمین را هم در خود بلعیده باشد. البته تا چند میلیون سال آینده، به دلیل افزایش فعالیت‌ها‌ی خورشیدی، عملاً حیات بر روی زمین غیرممکن خواهد بود؛ هرچند داستان انقراض حیات بر روی زمین، نه میلیون‌ها سال بعد، که شاید خیلی زودتر، به دست خودِ بشر، به‌علت زیادی‌خواهی‌هایش رقم بخورد!

ادغام راه‌شیری و گایا-انسلادوس
Credit: Gabriel Pérez Díaz / SMM (IAC)
ویدیو ساختگی از ادغام کهکشان‌ها و تبدیل شدن به یک کهکشان دیسکی

آیا برای ریاضی ورزیدن باید نابغه بود؟

«این مقاله را در ابتدا در ماه می ۲۰۰۷ به‌عنوان بخشی از توصیه‌هایم به دانشجویان تحصیلات تکمیلی در وبلاگم نوشتم و اساس آن تجربه‌ٔ تعامل با تعدادی از این دانشجویان، پژوهشگران فرادکتری و همکارانم بود که در حال یادگرفتن چم‌وخم پژوهش در ریاضیات بودند. این یکی از پربازدیدترین و پرکامنت‌ترین مقاله‌های وبلاگم بود و دلیلش شاید تا حدی نتیجه‌گیری‌های غیرشهودی‌ آن بود.» تائو

نوشته تِرِنس تائو — استاد ریاضی دانشگاه  و  برندهٔ مدال فیلدز در سال ۲۰۰۶ و ترجمه کیوان سامانی.
Terence Tao, Notices of the AMS, 71, 30-32 (Jan 2024)


بهتر است مراقب مفاهیمی چون نبوغ و الهام باشید؛ این‌ها مانند عصای جادویی هستند و باید با احتیاط و به میزان اندک توسط افرادی که می‌خواهند به درکی روشن از امور دست یابند، به کار گرفته شوند.

خوزه اورتگا یی گاست، «یادداشت‌هایی دربارهٔ رمان»

آیا برای ریاضی ورزیدن باید نابغه بود؟

پاسخ یک نهٔ قاطع است. برای مشارکت خوب و مفید در ریاضیات آدم باید سخت کار کند، مطالب رشتهٔ خودش را خوب فرا بگیرد، با رشته‌ها و ابزارهای دیگر آشنا شود، سؤال بپرسد، با ریاضی‌دان‌های دیگر صحبت کند و دربارهٔ «چشم‌انداز کلی» فکر کند. و بله، مقدار مناسبی هوش، شکیبایی و پختگی هم لازم است. ولی هیچ‌کس به نوعی «ژن نبوغ» جادویی نیاز ندارد، که خودبه‌خود و از هیچ، بینش عمیق، راه‌حل‌های غیرمنتظره یا توانایی‌های فوق‌طبیعی دیگر بیافریند.

تصویر معمول نابغهٔ تنها (و احتمالاً کمی خُل) –که نوشتارگان (منابع) و خرد متعارف را نادیده می‌گیرد و موفق می‌شود با استفاده از نوعی الهام غیرقابل‌توضیح (که احتمالاً با ریاضت‌های فراوان تقویت شده) به یک راه‌حل بدیع نفس‌گیر برای مسئله‌ای دست یابد که همهٔ متخصصان مغلوبش شده بودند — تصویری فریبنده و رمانتیک اما درعین‌حال به‌شدت نادرست است، دست‌کم در دنیای ریاضیات مدرن. البته نتایج و بینش‌های چشم‌گیر، عمیق و قابل‌توجهی در این رشته وجود دارد، ولی این‌ها دستاوردهای به‌سختی به دست آمده و انباشته‌ شده سال‌ها، دهه‌ها و حتی قرن‌ها کار و پیشرفت بی‌وقفهٔ تعداد زیادی ریاضی‌دان خوب و بزرگ است. عبور از یک مرحله از درک به مرحلهٔ بعدی می‌تواند بسیار غیربدیهی و گاهی غیرمنتظره باشد اما همچنان بر کارهای قبلی استوار است، نه‌این‌که از یک جای کاملاً جدید شروع شود. (مثلاً کارهای وایلز روی قضیه آخر فرما یا کارهای پرلمان روی حدس پوانکاره از این نوع است).

درواقع من امروز واقعیت تحقیقات ریاضی را — که در آن پیشرفت به‌شکل طبیعی و انباشتی از کار سخت، به‌کمک شهود، نوشتارگان و کمی شانس حاصل می‌شود — بسیار پذیرفتنی‌تر می‌دانم تا تصویر رمانتیکی که در زمان دانشجویی از ریاضیات داشتم که پیشرفتش در درجهٔ اول ناشی از الهام‌های رازآلودِ گونهٔ نادری از «نوابغ» بود. این «فرقه نوابغ» درواقع مشکلاتی ایجاد می‌کند، زیرا هیچ‌کس قادر نیست این الهامات (بسیار نادر) را به‌شکل منظم و با صحتی که به‌طور قابل‌اعتمادی سازگار باشد ایجاد کند. (اگر کسی وانمود می‌کند که می‌تواند چنین کاری انجام دهد، توصیه می‌کنم نسبت به ادعاهایش بسیار بدبین باشید).

فشارِ تلاش برای رفتار به چنین شیوهٔ ناممکنی به وسواس «مسائل بزرگ» یا «نظریه‌های بزرگ» در برخی افراد می‌انجامد، برخی دیگر هرگونه شک‌گرایی طبیعی نسبت به کار خود یا ابزارهایشان را از دست می‌دهند و دیگرانی هم هستند که نسبت به ادامهٔ کار در ریاضیات دلسرد می‌شوند.

همچنین، نسبت دادن موفقیت به استعداد ذاتی (که خارج از کنترل شخص است) به‌جای کوشش، برنامه‌ریزی و آموزش (که تحت کنترل شخص است) می‌تواند به مشکلات دیگری نیز بینجامد.

برخلاف مسابقات ریاضی، ریاضیاتِ حرفه‌ای ورزش نیست!

– تری تائو

البته، حتی اگر مفهوم نبوغ را کنار بگذاریم، باز هم همیشه ریاضی‌دان‌هایی پیدا می‌شوند که سریع‌تر، باتجربه‌تر، مطلع‌تر، کارآمدتر، دقیق‌تر یا خلاق‌تر از دیگران باشند. با این‌ همه، معنایش این نیست که فقط «بهترین» ریاضی‌دان‌ها باید ریاضی بورزند؛ این خطای رایجِ اشتباه گرفتن مزیت مطلق با مزیت نسبی است. تعداد حوزه‌های پژوهش و مسئله‌های جالب برای کار کردن در ریاضیات فراوان است — بسیار بیشتر از آن که فقط بهترین ریاضی‌دان‌ها بتوانند همهٔ آن‌ها را انجام دهند — و گاهی مجموعهٔ ابزارها و ایده‌هایی که شما دارید به چیزی می‌انجامد که از دید ریاضی‌دان‌های خوب دیگر پنهان مانده است، به‌خصوص که حتی بزرگ‌ترین ریاضی‌دان‌ها هم در برخی جنبه‌های پژوهش ریاضی ضعف‌هایی دارند.

تا زمانی که تحصیلات، علاقه و مقدار مناسبی استعداد داشته باشید، بخش‌هایی از ریاضیات هست که شما می‌توانید مشارکت قوی و مفیدی در آن‌ها داشته باشید. شاید جذاب‌ترین بخش ریاضیات نباشد، ولی واقعاً یک چیز درست‌ و درمان است؛ خیلی وقت‌ها جزئیات معمولی یک موضوع مهم‌تر از هر کاربرد شیکی از آب در می‌آیند. همچنین، پیش از آن که اصولاً فرصتی برای درگیر شدن با مسائل معروف یک حوزه به‌دست آورید، لازم است که در بخش‌های غیرجذاب آن حوزه هم تجربه‌هایی کسب کنید؛ نگاهی به آثار اولیهٔ هر کدام از ریاضی‌دان‌های بزرگ امروز بیندازید تا متوجه منظورم بشوید.

گاهی اوقات، استعداد خام زیادی ممکن است (از بد روزگار) در عمل برای پیشرفت ریاضی درازمدت فرد مضر باشد؛ برای مثال، اگر مسئله‌ها خیلی ساده حل شوند، ممکن است شخص به‌اندازهٔ کافی انرژی صرف سخت‌کوشی، پرسیدن سؤال‌های ابلهانه یا افزایش وسعتِ‌ دید خود نکند و این ممکن است نهایتاً به رکود مهارت‌هایش بینجامد. همچنین، اگر فرد به موفقیت‌های ساده عادت کرده باشد، ممکن است شکیبایی لازم برای سروکله زدن با مسائل واقعاً دشوار را به‌دست نیاورد (برای پدیدهٔ مشابهی در مهندسی نرم‌افزار سخنرانی پیتر نورویگ را ببینید، البته این شفاف‌سازی را هم ببینید). استعداد مطمئناً مهم است، اما چگونگی توسعه دادن و پرورش آن مهم‌تر است.

همچنین خوب است به یاد داشته باشید که ریاضیاتِ حرفه‌ای ورزش نیست (کاملاً برخلاف مسابقات ریاضی). هدف اصلی در ریاضیات دست‌یابی به بالاترین رتبه، بالاترین «امتیاز» یا بیشترین تعداد جوایز نیست؛ بلکه افزایش درک ریاضی (هم برای خودتان و هم برای همکاران و دانشجویانتان)، و مشارکت در توسعه و کاربردهای آن است. برای این کارها، ریاضیات به همهٔ آدم‌های خوبی که بتواند پیدا کند نیاز دارد.

برای بیشتر خواندن

How to be a genius,” David Dobbs, New Scientist, 15 September 2006. [Thanks to Samir Chomsky for this link.]

The mundanity of excellence,” Daniel Chambliss, Sociological Theory, Vol. 7, No. 1, (Spring, 1989), 70-86. [Thanks to John Baez for this link.]

نقش شبکه‌های اجتماعی در همه‌گیری‌ها و اثربخشی مداخله‌ها

Spreading and Epidemic Interventions

Effects of Network

Structure and Dynamics

علم شبکه و مدل‌سازی پخش بیماری‌ در حضور مداخله‌‌ها

Consequences of Social Network Structure for Epidemic Interventions

برای یادگیری بیشتر به مطالب این نوشته یا این ویدیو نگاه کنید:

مقدمه‌ای بر شبکه‌های پیچیده

سخنرانی آنلاین دانشگاه تهران
به دنبال توجیه رفتارهای جمعی در سیستم‌های فیزیکی و زیستی به اهمیت برهمکنش‌های نابدیهی و شبکه‌های پیچیده می‌رسیم و به ویژگی‌‌های این شبکه‌ها و پدیده‌های دینامیکی روی آن‌ها می‌پردازیم. سرانجام در مورد مدل‌سازی‌های انتشار ویروس کرونا صحبت خواهیم کرد!

قوس داستانی و خم‌های عاطفی در قصه‌ها

کِرْت وانه‌گت، نویسنده فقید آمریکایی، معتقد بود که تمام داستان‌ها را می‌توان بر اساس شکل روایی و قوس داستانی آن‌ها به دسته‌های انگشت‌شماری طبقه‌بندی کرد. در ویدیوی زیر، ایده اصلی او پیرامون طبقه‌بندی داستان‌ها بر اساس شکل روایی آن‌ها را می‌بینید:

Kurt Vonnegut on the Shapes of Stories

ادعای وانه‌گت سال‌ها بعد به صورت کمی راستی‌آزمایی شد. در ارائه زیر ابتدا ادبیات داستان‌پردازی محاسباتی را مرور می‌کنیم. سپس نشان می‌دهیم که سریال‌های ترکی در سال‌های گذشته عمدتا چه نوع قوس داستانی داشته‌اند و کم و کیف موفقیتشان در گیشه چگونه بوده است.

چطور می‌توانید ثابت کنید که چیزی را نمی‌دانید؟

 نمی‌دانم؛ باور کن!

این پرسشی بود که در یک پست لینکدین جلب توجه می‌کرد. در همین پست ارجاعی به پاسخ یک فیزیکدان به این پرسش هم بود. در این پاسخ سعی شده با استفاده از مفاهیم مکانیک کوانتمی ایده‌ای برای اثبات این که چیزی را نمی‌دانید ارائه شود. اگرچه پاسخ ارائه‌شده مربوط به یک حالت بسیار خاص است و چندان هم روشن نیست ولی اصل ایده، یعنی استفاده از مکانیک کوانتمی برای پاسخ به چنین پرسشی، به‌اندازه‌ کافی جذاب است.

واقعاً چطور می‌توانید ثابت کنید که چیزی را نمی‌دانید؟ این که بگویید نمی‌دانم کافی نیست. از کجا معلوم که راست بگویید یا قصد پنهان‌کاری نداشته باشید؟ البته این «نمی‌دانم» همیشه یک معنا ندارد یا دست‌کم اثر یکسانی روی شنونده نمی‌گذارد. مثلاً به گزاره‌‌های زیر توجه کنید:

  • من نمی‌دانم دو ضرب‌در دو می‌شود چهار یا نه
  • من نمی‌دانم که آیا هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به‌صورت حاصل‌جمع دو عدد اول نوشت یا نه.¹
  • من نمی‌دانم رئیس‌جمهور بعدی ایران چه کسی خواهد بود.

در گزارهٔ اول به احتمال زیاد گوینده راست نمی‌گوید و در گزارهٔ سوم به احتمال زیاد راست می‌گوید. گزارهٔ دوم شاید نیاز به بررسی بیشتری داشته باشد. کمی که بیشتر فکر کنید می‌بینید که نه‌تنها اثبات ندانستن، که اثبات دانستن هم چندان ساده نیست. مثلا اگر کسی به شما بگوید من می‌دانم که دو ضرب‌‌در دو می‌شود چهار از کجا می‌توانید مطمئن شوید که راست می‌گوید؟به‌عبارت‌دیگر از کجا می‌توانید مطمئن شوید که واقعاً «می‌داند» که دو ضرب‌در دو می‌شود چهار؟ شاید این گزاره را همان لحظه از کسی شنیده و به شما تحویل داده باشد.

یک مثال دیگر

فرض کنید امروز ریاضی‌دان الف به ریاضی‌دان ب بگوید: من می‌دانم که اگر$n$ یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۲ باشد، هیچ سه‌تایی $(x, y, z)$ ‌از عددهایی طبیعی وجود ندارد به‌طوری‌ که: $x^n+y^n=z^n$ (قضیهٔ آخر فرما). احتمالاً پاسخ ریاضی‌دان ب چیزی شبیه این خواهد بود: خب که چی؟! من هم این را می‌دانم. اما اگر زمان مکالمه پیش از سال ۱۹۹۴ بود، احتمالا ریاضی‌دان ب پاسخ می‌داد: واقعاً؟! ثابت کن!²

سؤال این است که وقتی ریاضی‌دان الف می‌گوید من می‌دانم که قضیهٔ آخر فرما درست است منظورش چیست؟ آیا واقعاً «می‌داند» یا صرفا به‌اتکای منابعی که آن‌ها را معتبر می‌داند درستی قضیه را می‌پذیرد؟ انگار کم‌کم داریم می‌رسیم به یک سؤال بنیادی‌تر!

اصلاً معنی دانستن چیست؟

کسی که تجربهٔ تصحیح برگه‌های امتحانی را داشته باشد می‌داند که گاهی درست بودن پاسخ یک سؤال در برگه‌ امتحان ربطی به بلد بودن (دانستن) پاسخ ندارد. گاهی کسی که فکر می‌کند چیزی را می‌داند فقط خیال می‌کند که می‌داند و درواقع نمی‌داند که نمی‌داند ولی شاید بتواند گزاره‌هایی سرهم کند که شما قانع شوید که می‌داند.

به یک نکتهٔ دیگر هم باید توجه کرد. این که شما مخاطبتان را قانع کنید که چیزی را می‌دانید یا نمی‌دانید با اثبات یک قضیه‌ ریاضی تفاوت دارد. یک قضیهٔ ریاضی که اثبات می‌شود، هر ریاضی‌دانی می‌تواند مراحل اثبات را بررسی کند و در نهایت درستی آن را بپذیرد. اما این که مخاطب شما بپذیرد که شما چیزی را می‌دانید یا نمی‌دانید، بیش از آن که نیاز به اثبات داشته باشد نیاز به نوعی توافق میان شما و مخاطب دارد. برای همین ممکن است یک مخاطب مجموعه‌ دلایل و شواهد شما را در تأیید دانستن یا ندانستن یک چیز قانع‌کننده بیابد ولی یک مخاطب دیگر استدلال شما را نپذیرد.

به نظر می‌رسد این که کسی بپذیرد که شما چیزی را می‌دانید نیازمند این است که دست‌کم در یک مرحله از فرایند پذیرش به یک چیزی (مثلا حرف شما یا مراجع شما یا صداقت شما) بدون دلیل اعتماد کند. خب، اگر اثبات دانستن نهایتاً به اعتماد وابسته است، چرا اثبات ندانستن به اعتماد متکی نباشد؟ آیا کافی نیست که وقتی کسی می‌گوید نمی‌دانم، به‌سادگی حرفش را باور کنیم؟ واقعیت این است که قضیه پیچیده‌تر از این حرف‌هاست.

پی‌نوشت‌ها:

۱) این که هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به‌شکل حاصل‌جمع دو عدد اول نوشت به اسم حدس گلدباخ شناخته می‌شود. هنوز اثبات نشده است.

۲) اندرو وایلز ریاضی‌دان و استاد دانشگاه آکسفورد در سال ۱۹۹۴ قضیهٔ آخر فرما را اثبات کرد.