پارادوکس «گربه و نان کره‌ای»—این پرسش طنزآمیز که اگر به پشت یک گربه تکه‌ای نان تُست کره‌مال‌شده ببندیم، چه خواهد شد؟ نان تُست همیشه از سمتِ کره‌ای‌اش روی زمین می‌افتد و گربه‌ها هم همیشه روی پاهایشان فرود می‌آیند؛ اما این تضادِ بامزه، درواقع تنها یک شوخی ذهنی است. با این حال، تواناییِ واقعیِ گربه‌ها در اینکه هنگام سقوط، بدنشان را بچرخانند و روی پا فرود آیند، شوخی نیست. این مسئله سال‌ها ذهن دانشمندان را به خود مشغول کرده بود، چرا که به نظر می‌رسید با یکی از اصول مهم فیزیک، یعنی «پایستگی تکانه زاویه‌ای»، ناسازگار باشد. اگر گربه را به شکل استوانه‌ای صُلب تصور کنیم، چنین جسمی هنگام سقوط نمی‌تواند ناگهان تکانه زاویه‌ای تولید کند؛ ولی گربه‌ها این کار را به سادگی انجام می‌دهند.
در سال ۱۹۷۵، جک هدرینگتون، مقالهای نوشت و در سراسر آن از ضمیر «ما» استفاده کرد. وقتی سردبیر ژورنال اعلام کرد که باید نویسندهٔ دوم نیز وجود داشته باشد، هدرینگتون برای آنکه مجبور به تایپ دوبارهٔ مقاله نشود، اسم گربه‌اش «چستر» را به‌عنوان همکار نویسنده درج کرد. اکنون این گربه یک پروفایل رسمی با اسم اِف. دی. سی. ویلارد در گوگل اسکالر دارد که نشان می‌دهد مقالاتش تا امروز ۱۱۳ بار مورد استناد پژوهشگران دیگر قرار گرفته است!
گربه‌ها موجودات عجیبی هستند. از هر جایی و هر طوری که رهایشان کنی، دست آخر روی پنجه فرود می‌آیند. بدن گربه نه یک استوانهٔ صُلب، بلکه مجموعه‌ای انعطاف‌پذیر از دو بخشِ جداگانه است که می‌تواند در جهات مخالف یکدیگر خم شود و بچرخد. چگونگی انجام این کار، اولین بار در سال ۱۹۶۹ توسط یک مدل ریاضی توضیح داده شد. انعاطف‌پذیری زیاد گربه‌ها و اینکه در هر ظرفی جا می‌شوند و شکل آن را به خود می‌گیرند هم سبب شده تا مردم به شوخی بگویند گربه مایع است. ارک-آنتوان فاردین، در مقالهای با عنوانِ «گربه‌های مایع»، از آنها برای توضیح چند مفهوم پایه‌ای در رئولوژی (مطالعه جریان و تغییر شکل مواد) استفاده کند. این پژوهش شوخ‌طبعانه باعث شد فاردین در سال ۲۰۱۷ جایزهٔ ایگ نوبل فیزیک را دریافت کند.
اما در دنیای فیزیک، مشهورترین گربه، «گربهٔ شرودینگر» است. این آزمایش فکری را اروین شرودینگر، ابتدا برای انتقاد از «تفسیر کپنهاگی مکانیک کوانتومی» مطرح کرد. هدف او تأکید بر تناقضی بود که در قلب نظریهٔ کوانتوم وجود داشت: گربه‌ای که هم‌زمان هم زنده و هم مرده است. شرودینگر شاید صرفاً به دنبال تأکید بر یک نکتهٔ عجیب و غیرمعمول بود؛ اما برهم‌نهیِ کوانتومی که گربهٔ فرضی‌اش توصیف می‌کند کاملاً واقعی است.
در فیزیکِ نور می‌توان دو حالت نوری را که فازهای متفاوت و متضادی دارند با هم ترکیب کرد و وضعیتی به نام «حالت گربه‌ای» ساخت. اگر شدت نور در چنین حالتی اندک باشد، به آن «حالت بچه‌گربه‌ای» می‌گویند. این «حالت‌های گربه‌ای» صرفاً کنجکاوی نظری نیستند؛ آنها کاربردهایی جدی در حوزهٔ اطلاعات کوانتومی دارند. برای نمونه، «کدهای گربه‌ای» یکی از روش‌های معروف برای تصحیح خطا در رایانش کوانتومی هستند.
در داستان آلیس در سرزمین عجایب، «گربهٔ چشایر» می‌تواند به‌تدریج ناپدید شود و تنها لبخندش را در هوا باقی بگذارد. اخیراً دانشمندان حالتی کوانتومی به نام «گربهٔ چشایرِ کوانتومی» را شناسایی کرده‌اند که در آن ویژگیهای یک ذره (مانند تکانهٔ مغناطیسی) می‌تواند از خودِ ذره جدا شده و در مسیر متفاوتی حرکت کند. این گربه‌های عجیب حتی می‌توانند ویژگی‌هایشان (مانند همان لبخند معروف) را با هم مبادله کنند!
The physics of cats. Nat Rev Phys7, 165 (2025) https://doi.org/10.1038/s42254-025-00824-6
انسان‌ها گاهی عقاید خود را در حین بحث با یکدیگر تغییر می‌دهند. محققان می‌توانند با استفاده از ریاضیات این تغییر نظرات را در رویدادهای ساده شده زندگی روزمره بررسی کنند. این سناریوهای ساده شده که در واقع مدل‌های ریاضی هستند به دانشمندان کمک می‌کنند تا تاثیر انسان‌ها بر یکدیگر را از طریق ارتباطات اجتماعی بررسی کنند. در دنیای دیجیتال امروز این مدل‌ها می‌توانند به ما کمک کنند تا یاد بگیریم چگونه اطلاعات درست را ترویج و پخش کنیم و جلوی پخش اطلاعات نادرست را بگیریم. در این مقاله ما یک مدل ساده ریاضی برای تغییرات ایده‌ها، که برخاسته از بر همکنش‌های اجتماعی است را بررسی می‌کنیم. ما به طور خلاصه شرح می‌دهیم که مدل‌های تغییر نظرات چه به ما می‌گویند و چگونه دانشمندان سعی می‌کنند آنها را واقعی‌تر کنند. Front. Young Minds. 12:1253153. doi: 10.3389/frym.2024.1253153
دانشمندان چگونه تغییر نظرات را بررسی می‌کنند؟
در داستان کوتاه «به سوی ابدیت» نوشته الیزابت بر یکی از شخصیت‌های داستان می‌گوید: عقاید همانند بچه گربه‌ها هستند، مردم همیشه آنها را به دیگران می‌بخشند، همه نظراتی دارند نظرات ما در طول زمان تغییر می‌کنند و اکثر مواقع نظرات ما تاثیر گرفته از نظرات دیگران هستند. بسیاری از دانشمندان تغییر عقاید در طول زمان و اثر انسان‌ها روی آنها را بررسی می‌کنند. آنها اغلب از ریاضیات برای بررسی این ایده‌ها و پیش‌بینی در مورد چگونگی تغییر دیدگاه‌ها و شکل‌گیری دیدگاه‌های مشترک مردم استفاده می‌کنند.
تصور کنید که مدرسه شما در حال طراحی دوباره لوگوی مدرسه و رنگ آن باشد. مدیر مدرسه اعلام کرده است که هیئت امنای مدرسه دو رنگ ممکنه یعنی آبی و قرمز را انتخاب کرده‌اند و دانش آموزان می‌توانند با رای گیری انتخاب کنند کدام یک از این دو رنگ اصلی مدرسه باشد. در طول ناهار شما و دوستانتان به دور یک میز نشسته‌اید و در حال بحث در مورد رنگ جدید هستید. فرض کنید که در هر زمان تنها دو نفر از شما در حال بحث در مورد رنگ باشند. همینطور فرض کنید که شما رنگ قرمز را ترجیح می‌دهید. شما به سمت یکی از دوستانتان برمی‌گردید تا در مورد رنگ بحث کنید. دوستتان به شما می‌گوید که رنگ آبی روی تیشرت‌های مدرسه بهتر به نظر می‌رسد و شما را متقاعد می‌کند که آبی را ترجیح دهید. بعد از آن دوست دیگری به سمت شما برمی‌گردد تا در مورد رنگ با شما صحبت کند و شما این دوستتان را متقاعد می‌کنید که او هم آبی را ترجیح دهد. تصور کنید که این صحبت‌های دوتایی تا زمانی که در نهایت همه سر میز ناهار متقاعد شوند که یک رنگ را انتخاب کنند ادامه داشته باشد.
ما می‌توانیم فرآیند مباحثه‌ای که گفته شد را با یک مدل ریاضی بررسی کنیم. محققان از مدل‌های ریاضی استفاده می‌کنند تا تغییر نظرات به خاطر برهم کنش‌های اجتماعی را بررسی کنند، همانند آنچه که در صحبت‌های میز غذا رخ داد. محققان اغلب مدل‌های ساده را که به راحتی قابل فهم هستند را بررسی می‌کنند. یکی از مدل‌هایی که محققان برای بررسی آنچه مثل شرایطی که در بالا گفته شد استفاده می‌کنند مدل «رای دهنده» نام دارد که برخلاف نامش هیچ ربطی به رای دادن ندارد. مدل‌های رای دهنده دو جز کلیدی دارند اول: نظر ابتدایی مردم یعنی چیزی که مردم قبل از بحث کردن با دیگران فکر می‌کنند و دوم یک قانون به روز رسانی: که چگونگی تغییر عقاید مردم را توصیف می‌کند. در مثال ما عقاید اولیه رنگ‌های آبی و قرمزی هستند که دانش‌آموزان در ابتدا ترجیح می‌دهند. برای قانون به روز رسانی در مدل رای دهنده ما به طور تصادفی دو نفر را انتخاب می‌کنیم و سپس به طور تصادفی عقیده یکی از آنها را برای جمعشان بعد از بحث انتخاب می‌کنیم. هر کدام از دو عقیده به طور برابر محتمل هستند. فرض کنید برای انتخاب یکی از عقاید به طور تصادفی یک سکه پرتاب می‌کنیم. اگر دو نفر قبل از بحث عقیده یکسانی داشته باشند همچنان می‌توانیم آنها را انتخاب کنیم که با یکدیگر در مورد عقیده‌شان صحبت کنند. با این حال در این مورد عقیده‌شان یکسان باقی می‌ماند. این قانون به روز رسانی بحثی را که در آن یک نفر می‌تواند عقیده دیگری را در مورد رنگ مورد علاقه‌اش تغییر دهد شبیه‌سازی می‌کند. این قانون به روز رسانی ساده جزئیات زیادی در مورد کنش روزمره انسان‌ها با یکدیگر به ما نمی‌دهد. به طور مثال این قانون به روز رسانی شامل هیچ خاطره‌ای از بحث‌های گذشته نیست. با این حال با وجود ماهیت ساده لوحانه این قانون همچنان به محققان برای بررسی تغییرات عقاید در طول زمان کمک می‌کند.
در شکل اول ارتباط مدل رای دهنده با مثال ما از دوستانی که در مورد رنگ‌های مورد علاقه‌شان در هنگام ناهار بحث می‌کنند را می‌بینیم. وقتی همه با هم در مورد رنگ توافق می‌کنند به اجماع می‌رسند. وقتی انسان‌ها به اجماع نمی‌رسند ما می‌گوییم که آنها نظرات پراکنده دارند به این معنا که بیش از دو نظر متفاوت وجود دارد. در مدل رای دهنده محققان علاقمندند که بدانند آیا در نهایت مردم به اجماع می‌رسند یا نه و اگر به اجماع می‌رسند چه مدت زمانی طول می‌کشد تا به آن برسند.
شکل ۱ – مدل سازی انتخاب رنگ با استفاده از مدل رای دهنده.
در ابتدا (در زمان t = 0)، هر حیوان آبی یا قرمز را برای رنگ اصلی مدرسه ترجیح می دهد. در زمان t = 1، پرنده و گربه در مورد رنگ مدرسه بحث می کنند و تصمیم می گیرند که آبی را ترجیح دهند. در زمان t = 2، گربه و خوک در مورد رنگ مدرسه بحث می کنند. آنها یک رنگ را ترجیح می دهند، بنابراین نظرات آنها تغییر نمی کند. در زمان t = 3، سگ و گوسفند در مورد رنگ مدرسه بحث می کنند و تصمیم می گیرند که قرمز را ترجیح می دهند. به روز رسانی نظرات تا زمانی که حیوانات به اجماع برسند ادامه می یابد. در این مثال، در زمان t = 20، همه آبی را ترجیح می دهند.
ادغام شبکههای اجتماعی در مدل‌های عقیده
در مثال رنگ مدرسه‌ای که زدیم گروه کوچکی از دوستان در مورد رنگ ترجیحیشان دو به دو بحث می‌کنند. فرض کنید که این بحث‌ها در مدرسه بزرگی که همه دانش آموزان یکدیگر را نمی‌شناسند رخ می‌دهند. محققان می‌توانند مجموعه روابط اجتماعی داخل مدرسه را با شبکه اجتماعی از دانش آموزان نشان دهند. دانش آموزان راس‌های این شبکه اجتماعی هستند و روابط اجتماعی که دانش آموزان را به هم متصل می‌کنند را با یال‌ها نشان می‌دهیم. اگر دو نفر با هم رابطه اجتماعی داشته باشند در اصطلاح به آنها همسایه در شبکه می‌گوییم. در مثال ما اگر دو راس با هم دوست باشند بین آنها یال وجود دارد. وقتی محققان یک مدل رای دهنده را روی یک شبکه اجتماعی بررسی می‌کنند تنها راس‌های همسایه می‌توانند روی عقیده یکدیگر تاثیر بگذارند. یعنی آنها فرض می‌کنند که فقط افراد دارای یک رابطه اجتماعی می‌توانند مستقیماً روی یکدیگر تاثیر بگذارند. به عنوان مثال دانش آموزان یک مدرسه تمایل دارند روی دوستان خود تاثیر بگذارد. استفاده از شبکههای اجتماعی به محققان امکان مطالعه تاثیر ساختار شبکه( یعنی چه کسی با چه کسی دوست است) بر روی تغییر عقاید را می‌دهد.
یک شبکه اجتماعی دوستی بین دانش آموزان یک مدرسه را در نظر بگیرید. اجازه دهید مدل رای دهنده را روی این شبکه اجتماعی بررسی کنیم. همانند قبل هر دانش آموز در ابتدا قرمز یا آبی را ترجیح می‌دهد با این حال برخلاف مثال اولیه ما که بدون شبکه اجتماعی بود برخی افراد با یکدیگر دوست نیستند. دو نفر تنها در صورتی با یکدیگر در مورد ترجیحات خود صحبت می‌کنند که با هم دوست باشند در هر به روز رسانی مدل ما به طور تصادفی یک جفت دوست را برای صحبت با یکدیگر انتخاب می‌کنیم. یعنی در شبکه اجتماعی دانش آموزان همسایگان را انتخاب می‌کنیم. سپس به طور تصادفی یکی از نظرات آنها را انتخاب می‌کنیم و فرض می‌کنیم که هر دو دانش آموز پس از بحث با این نظر موافق باشند. همانند قبل این به روز رسانی نشان دهنده آن است که یک نفر دوست خود را متقاعد می‌کند که همان رنگی را ترجیح دهد که او ترجیح می‌دهد. در شکل دو نمونه‌ای از نحوه به روز رسانی مدل رای دهنده را در یک شبکه اجتماعی بسیار کوچک مشاهده می‌کنید. نظرات با گذشت زمان تغییر می‌کنند و در نهایت هر دانش‌آموز موافقت می‌کند که به همان یک رنگ رای دهد. یعنی دانش آموزان در نهایت به اجماع می‌رسند. متاسفانه در زندگی واقعی ممکن است زمان زیادی طول بکشد تا به یک اجماع برسیم. یک مدرسه ممکن است برای تصمیم گیری در مورد رنگ انقدر صبر نکند. برای بررسی موقعیت‌های از این دست محققان بررسی می‌کنند که چگونه نظرات در یک مدل رای دهنده در طول زمان مشخصی مانند یک هفته تغییر می‌کنند تا ببینند که آیا اجماع حاصل می‌شود یا خیر. محققین همچنین بررسی می‌کنند که چه مدت زمانی طول می‌کشد تا یک اجماع در شبکه ظهور کند.
شکل ۲ – نمونه ای از نحوه به روز رسانی نظرات در مدل رأی دهنده در یک شبکه اجتماعی.
افراد (راس‌ها) دایره های توپر و دوستی‌ها (یال‌ها) خطوط سیاهی است که راس‌ها را به هم متصل می کند. راس‌ها را با نظر آنها (آبی یا قرمز) رنگ می کنیم. در زمان t = 0، ما شبکه اجتماعی و نظرات اولیه همه را نشان می دهیم. برخلاف شکل ۱، فقط دوستان (یعنی راس‌های همسایه) می توانند تعامل داشته باشند. برخی از مردم با یکدیگر دوست هستند، اما برخی دیگر دوست نیستند. در هر زمان، ما به صورت تصادفی دو دوست را برای تعامل و به روز رسانی نظرات آنها انتخاب می‌کنیم.
هنگام مطالعه یک مدل رای دهنده یک انتخاب ممکن آن است که به طور تصادفی نظرات اولیه گروه را تعیین کنیم با این حال در مثال ما ترجیحات اولیه رنگ احتمالاً از یک فرایند تصادفی مانند پرتاب سکه ناشی نمی‌شوند. بسیاری از مردم رنگ خاصی را ترجیح می‌دهند و رنگ‌های دیگر را دوست ندارد. این ترجیحات ممکن است به دلایل زیادی ایجاد شود. شاید کسی اغلب یک لباس آبی می‌پوشد و یا شاید تیم مورد علاقه‌ای به رنگ آبی دارد. همچنین ممکن است فردی بخواهد از رنگی که با رنگ تیم ورزشی رقیب همخوانی دارد اجتناب کند در یک شبکه اجتماعی مدرسه جوامعی از افراد با دوستی‌های زیادی در داخل جامعه وجود دارد. به عنوان مثال جوامع دوستی می‌توانند از کلاس‌ها باشگاه‌های مدرسه یا تیم‌های ورزشی ایجاد شوند. احتمال دوستی افرادی که در یک جمع مشخص قرار دارند بیشتر از احتمال دوستی افراد از جمع های مختلف است. همانطور که در شکل سوم مشاهده می‌کنید محققان می‌توانند نظرات اولیه را بر اساس چنین جوامعی انتخاب کنند. به طور مثال فرض کنید رنگ تیم فوتبال محلی آبی است. شاید دانش آموزان کلاس هفتم بیشتر از دانش آموزان کلاس هشتم طرفدار این تیم باشند بنابراین شاید دانش آموزان کلاس هفتم بیشتر از کلاس هشتم آبی را به عنوان رنگ اصلی مدرسه ترجیح دهند. محققان بررسی می‌کنند که چگونه جوامع شبکههای اجتماعی بر نتایج مدل‌های رای دهنده و به طور کلی‌تر چگونه بر نظرات مردم تاثیر می‌گذارند.
شکل ۳ – تعیین تصادفی راس‌هایی که با هم تعامل دارند می تواند به نتایج متفاوتی منجر شود.
یک شبکه اجتماعی با دو جامعه – دانش آموزان کلاس هفتم و کلاس هشتم – را در نظر بگیرید که به ترتیب آبی و قرمز را ترجیح می دهند. (الف) در زمان t = 0، ما انتخاب می کنیم که هر دانش آموز کدام رنگ را ترجیح می دهد. با استفاده از همین اولویت‌های اولیه، مدل رأی‌دهنده را بارها در کامپیوتر شبیه‌سازی می‌کنیم. (ب) در یک شبیه سازی، دانش آموزان در نهایت رنگ آبی را ترجیح می دهند. (ث) در شبیه سازی دیگری، دانش آموزان در نهایت رنگ قرمز را ترجیح می دهند. (د) در شبیه‌سازی دیگر، دو جامعه هنوز ترجیحات متفاوتی در زمان t = 15 دارند. ما این شبیه‌سازی را تا زمانی ادامه می‌دهیم که همه دانش‌آموزان به یک اجماع برسند.
مدل‌های عقیده اغلب شامل تصادفی بودن هستند. در مدل رای دهنده این تصادفی بودن در انتخاب نظرات اولیه، تعیین اینکه کدام جفت از افراد برای مکالمه با یکدیگر انتخاب شوند و تعیین اینکه نظر کدام یک از دو نفر به عنوان نظر جمعشان انتخاب می‌شود ظاهر می‌شود. در شکل سه می‌بینید که تصادفی بودن می‌تواند باعث شود که از یک مدل ریاضی نتایج کاملا متفاوتی حاصل شود. محققان باید هنگام تعیین اینکه آیا تفاوت در نتایج مدل ناشی از ویژگیهای شبکه اجتماعی است مانند جوامع داخل شبکه یا از تصادفی بودن حاصل شده است دقت به خرج دهند. آنها اغلب از شبیه سازی‌های کامپیوتری برای مطالعه مدل‌های عقیده استفاده می‌کنند و مهم است که یک مدل مانند مدل رای دهنده را بارها شبیه سازی کنیم تا نتایج احتمالی آن را به دقت بررسی کنیم.
از مدل رای دهنده چه می‌توانیم بیاموزیم؟
چرا محققان به مدل‌های رای دهنده و سایر مدل‌های نظری علاقمند هستند؟ تصمیم گیری در مورد رنگ جدید مدرسه ممکن است چندان مهم به نظر نرسد با این حال مطالعه مدل‌های عقیده می‌تواند به محققان کمک کند تا تغییرات در افکار عمومی در مورد موضوعات مهمی مانند انتخابات ریاست جمهوری و سیاست‌های واکسیناسیون را بررسی کنند. مدل‌های عقیده می‌توانند بینش‌هایی در مورد چگونگی اشاعه اطلاعات دقیق و اینکه چگونه استفاده از رسانه‌های اجتماعی می‌تواند بر دیدگاه‌های ما تاثیر بگذارد ارائه دهد. رسانه‌های اجتماعی نحوه تعامل مردم و نحوه انتشار نظرات را تغییر داده‌اند. به طور مثال رسانه‌های اجتماعی بر دیدگاه مردم در مورد کووید ۱۹ تاثیر گذاشتند. رسانه‌های اجتماعی می‌توانند به مقامات بهداشتی کمک کنند تا راهنمایی‌های مهمی مانند اطلاعات در مورد واکسن‌ها را به اشتراک بگذارند. از طرف دیگر متاسفانه رسانه‌های اجتماعی می‌توانند به انتشار اطلاعات نادرست و گمراه کننده کمک کنند که می‌تواند به سلامت روحی و جسمی بسیاری از افراد آسیب برساند.
محققان در بسیاری از موضوعات از جمله ریاضیات، روانشناسی، جامعه شناسی، زیست شناسی، فیزیک، اقتصاد، علوم کامپیوتر و غیره به دلایل مختلف مدل‌های عقیده را مطالعه می‌کنند. ریاضیدانان و فیزیکدانان اغلب این مدل‌ها را به دلیل جالب بودن مطالعه می‌کنند. دانشمندان علوم سیاسی از مدل‌های عقیده برای مطالعه قطبی شدن نتایج رای گیری در انتخابات استفاده می‌کنند. در تجارت مدل‌های عقیده برای مطالعه تصمیم‌های قیمت گذاری در بازارهای مالی، بررسی محصول در فروش آنلاین و اثرات کمپین‌های تبلیغاتی مورد استفاده قرار گرفته‌اند. محققان همچنین چگونگی اثر متقابل تغییر عقاید و پخش بیماری‌ها را با مدل‌های ترکیبی بررسی کرده‌اند.
مدل‌های رای دهنده کاربردهای زیادی دارند و ما می‌توانیم با واقع بینانه‌تر کردن آنها بهره بیشتری از آنها ببریم. چگونه می‌توانیم مدل‌های رای دهنده را واقع بینانه‌تر کنیم؟ در یک مدل رای دهنده ما به طور تصادفی تعیین می‌کنیم که پس از تعامل دو نفر کدام نظر را به عنوان نظر مشترکشان انتخاب کنند. با این حال در واقعیت دقیقاً مشخص نیست که مردم چگونه نظرات خود را شکل می‌دهند و چگونه آنها را تغییر می‌دهند. همچنین نظرات مردم با فاکتورهای دیگری به غیر از تاثیر مستقیم افراد شکل می‌گیرند. تشکیل و تغییر عقاید فرایند پیچیده‌ای است بنابراین مدل سازی ریاضی در مورد آن دشوار است. قانون به روز رسانی مدل رای دهنده واقعیت را بیش از حد ساده می‌کند بنابراین محققان سعی کرده‌اند که این به روز رسانی را به واقعیت نزدیک‌تر کنند. همچنین محققان انواع دیگری از مدل‌های عقیده را توسعه داده‌اند مانند مدل‌هایی که شامل افراد سرسختی می‌شوند که بعید است نظرات خود را تغییر دهند، تا ایده‌های مختلفی را در مورد چگونگی تغییر نظرات افراد در خود بگنجانند. آنها همچنین مدل‌های عقیده‌ای را توسعه داده‌اند که مفاهیمی همچون فشار همگروهیان را در بر می‌گیرد. به عنوان مثال شاید برخی از افراد فقط نظر خود را به نظری تغییر دهند که به اندازه کافی در بین دوستانشان محبوب باشد مثلاً زمانی که حداقل ۵ نفر از دوستانشان این نظر را داشته باشند. محققان همچنین مدل‌های عقیده‌ای را بررسی می‌کنند که در آنها ساختار شبکه‌ی اجتماعی و تغییر نظرات به یکدیگر وابسته هستند . به عنوان مثال اگر شما با کسی در مورد موضوع مهمی تفاوت شدید عقیده دارید ممکن است او را در اینستاگرام یا تیک تاک دنبال نکنید.
خلاصه و از اینجا به کجا می‌رویم؟
مطالعه اینکه چگونه تعاملات اجتماعی بین افراد بر نظرات آنها تاثیر می‌گذارد روشی جذاب برای استفاده از ریاضیات است. محققان مدل‌های نظری جدیدی را برای توسعه بینش در مورد تعاملات انسانی و تاثیرات آن بر پدیده‌های اجتماعی ایجاد می‌کنند. این مدل‌ها بسیار ساده‌تر از تغییر عقاید در واقعیت هستند. چالش اصلی در مدل سازی عقاید ارزیابی مدل‌ها از طریق مقایسه آنها با نظرات موجود در داده‌های دنیای واقعی است. محققان فعالانه در تلاشند تا راه‌های مناسبی برای انجام این کار پیدا کنند. با این حال و با وجود چالش‌ها مدل‌های عقیده همچنان به محققان کمک می‌کنند تا بیاموزند که چگونه تعاملات اجتماعی بر نظرات ما تاثیر می‌گذارند. همانگونه که محققان مدل‌های عقاید بیشتری را توسعه می‌دهند ما در مورد چگونگی تغییر عقاید و تاثیر این تغییرات بر رفتار انسان بیشتر می‌آموزیم.
برای دیدن منابع و جزئیات بیشتر به اصل نوشته حتما نگاه کنید.
این میم بهونه خوبیه که در مورد روش‌های متفاوتی که میشه مکانیک کلاسیک رو ارائه کرد حرف زد. پس توی این نوشته، بدون پرداختن به مکانیک کوانتومی، سراغ فرمول بندی‌های مدرنی میریم که برای توصیف حرکت داریم.
صورت‌بندی نیوتون
نخستین فرمول بندی همان‌چیزی است که همه ما در مدرسه با آن آشنا شده‌ایم؛ صورت‌بندی نیوتون. نیوتون با ارائه سه قانون، چارچوبی کلی برای مطالعه حرکت معرفی کرد. با پذیرفتن این سه قانون، می‌شود حرکت ذرات غبار در هوا یا حرکت سیارات و کهکشان‌ها را با دقت خوبی توضیح داد و پیش بینی کرد. به طور خلاصه به کمک قوانین نیوتون می‌توانیم بگوییم زمین چگونه به دور خورشید می‌چرخد و اگر توپی را با فلان سرعت پرتاپ کنیم، کی به کجا می‌رسد.
قانون اول نیوتون در مورد ناظر است. این قانون می‌گوید برای داشتن درک درستی از حرکت اجسام، کسی که آنها را مشاهده می‌کند هم مهم است. در واقع نیوتون قوانین حرکتش را برای ناظرهایی ارائه می‌دهد که در ابتدای امر تکلیف آنها را مشخص کرده: ناظرهای لَخت. تعریف ساده ناظر لخت این گونه است: اگر جسمی را منزوی کنیم جوری که هیچ جسم دیگری روی آن اثری نگذارد، آن موقع، ناظر مورد نظر ما آنی است که ببیند جسم با سرعت ثابتی حرکت می‌کند. قاعدتا سرعت صفر(بی‌حرکتی) هم شامل این مورد می‌شود. بعد از مرور قانون دوم دوباره به این قانون فکر کنید. قانون اول از قانون دوم نتیجه نمی‌شود!
به دنبال قانون اول، قانون دوم نیوتون شیوه ترجمه اثرات خارجی وارد بر یک جسم به تغییرات سرعت آن را توضیح می‌دهد. بیان ریاضی این قانون معادله‌ی دیفرانسیل مرتبه دویی است که در یک طرف آن تغییرات تکانه جسم و طرف دیگر آن همه اطلاعات مربوط به اثرات خارجی را در قالب کمیت برداری به اسم نیرو قرار می‌دهد. دراینجا، تکانه جسم، حاصل‌ضرب کمیتی ذاتی به اسم جرم جسم در سرعت آن است. جرم جسم $m$ در این قانون، پارامتری است که آهنگ تغییرات سرعت جسم $\dot{\textbf{v}}$ به واسطه نیروهای وارد شده به آن یعنی $\textbf{F}$ را کنترل می‌کند.
$$\textbf{F} = m \frac{d^2\textbf{x}}{dt^2} = m\dot{\textbf{v}}$$
در فیزیک رسم است که مشتق زمانی یک کمیت را با گذاشتن یک نقطه بالای آن نشان می‌دهیم. اینکه چرا قانون دوم توسط یک معادله دیفرانسیل مرتبه دو توصیف می‌شود، چیزی است که طبیعت انتخاب کرده. با این وجود این انتخاب برای ما تا حدودی خوشایند است. از لحاظ ریاضی تفسیر این معادله این است که اگر ما بدانیم بر جسمی چه نیروهایی وارد می‌شود و سرعت و مکان آن را در هر لحظه بدانیم، دیگر نیازی نیست اطلاعات بیشتری داشته باشیم تا حرکت آن جسم را توصیف کنیم. یعنی مکان و سرعت در یک لحظه تمام اطلاعات اولیه‌ای است که به آنها نیاز داریم و بقیه اطلاعات دیگر را می‌توانیم حساب کنیم. زیباست. نه؟!
قانون سوم نیوتون را به شیوه‌های مختلفی می‌شود بیان کرد که حتما در مورد آن شنیده‌اید. آنچه که برایتان شاید جالب باشد این است که این قانون کامل نیست. منظور از کامل نبودن این است که در بعضی مسائل به تنهایی توصیف درستی ارائه نمی‌کند. چرا و چگونه‌اش بماند برای بعد. چیزی که الان مهم است این است که به واسطه قانون سوم نیوتون می‌شود روشی برای مقایسه و اندازه گیری جرم اجسام گوناگون پیدا کرد. پس به لطف این قانون، تکلیف جرم جسم مشخص می‌شود. حالا کافی است که نیروها را مشخص کنیم. آن‌موقع به واسطه قانون دوم می‌توانیم حرکت یک جسم را توصیف کنیم. مشکل این‌جاست که قوانین نیوتون به تنهایی این کار را برای ما انجام نمی‌دهند. یعنی در کنار این سه قانون، باید صورت‌بندی‌هایی برای نیروهای مختلف هم پیدا کنیم. خوش‌بختانه به نظر می‌رسد که تعداد نیروهای بنیادی از شمار انگشتان یک دست کمترند. در زندگی روزمره ما، نظریه‌های گرانش و الکترومغناطیس تقریبا همه نیروهای وارد بر اجسام را توصیف می‌کنند. به طور خلاصه، هر بار که چیزی می‌افتد به خاطر گرانش است و هر چیز دیگر تقریبا منشا الکترومغناطیس دارد از جمله بالا بردن اجسام توسط بازوی ما یا آسانسور منزل!
حالا ما می‌توانیم طبیعت را توصیف کنیم. یا دست کم حرکت در طبیعت را تا وقتی که اثرات کوانتومی یا نسبیتی وارد نشده‌اند را با دقت خوبی توضیح دهیم.
اما این فقط یک روایت از طبیعت است. ما می‌توانیم این داستان را جور دیگری هم بیان کنیم. یعنی می‌شود حرکت اجسام را جور دیگری هم صورت‌بندی کرد بدون اینکه با صورت‌بندی نیوتون ناسازگار از آب درآیند. صورت‌بندی‌هایی که همین حرف‌ها را با ریاضیات متفاوتی بیان کنند و چه بسا قدرت عمل بیشتری به ما در محاسبات و تعمیم ایده‌ها — فرای مکانیک استاندارد — هم دهند.
آرامگاه نیوتون در کلیسای وست‌مینستر لندن
اصل کمترین کنش و روش لاگرانژ و همیلتون
فرض کنید شما سامانه‌ای را در یک لحظه می‌بینید. سپس چشمانتان را برای مدت کوتاهی می‌بندید، دوباره باز می‌کنید و در لحظه جدید سامانه را در موقعیت جدیدش مشاهده می‌کنید. برای مثال، توپی را تصور کنید که در لحظه اول در نقطه پنالتی و در لحظه بعدی در کنج دروازه جا گرفته. حالا تمام مسیرهایی که توپ ممکن است بین این دو لحظه طی کرده باشد را تصور کنید. مثلا یک مسیر این است که توپ مستقیم از نقطه پنالتی به کنج دروازه رفته باشد. یک مسیر ممکن دیگر این است که توپ روی منحنی هیجان‌انگیزتری حرکت کرده و به کنج دروازه نشسته. یک مسیر هم می‌تواند این باشد که توپ به هوا رفته، چرخیده و دست آخر برگشته و وارد دروازه شده. حالا فرض کنید، به هر کدام از این مسیرها کمیتی نسبت می‌دهیم به نام کُنِش و ما کنش همه مسیرها را در جدولی یادداشت می‌کنیم.
هیچ‌کس تا به حال ندیده که ضربه پنالتی به عقب برود و سپس به درواز برگردد. منطقی نیست. یا به عبارتی این مسیری نیست که طبیعت اجازه طی شدنش را بدهد وقتی شخصی به سمت دروازه ضربه می‌زند. پس قرارداد می‌کنیم که مسیری مجاز است که توسط طبیعت انتخاب شود و طبیعت مسیری را انتخاب می‌کند که کمترین (اکسترمم) کنش را داشته باشد. به این قاعده، اصل کمترین کنش یا اصل همیلتون می‌گویند. در عمل، همانطور که برای پیدا کردن نقاط اکسترمم توابع مشتق پذیر، به دنبال ریشه‌های مشتق آن تابع می‌گردیم، اینجا هم ایده‌هایی مشابه وجود دارد که نیاز نباشد همه مسیرها را امتحان کنیم. حالا فرض کنید که مسیری که کمترین کنش را دارد را پیدا کرده‌ایم. پس اگر اندکی آن‌را تغییر دهیم نباید کنش مسئله تغییر چشم‌گیری کند. درست همانطور که مثلا تابع $y = x^2$ در نقطه صفر که کمینه آن است تغییر چندانی نمی‌کند.
کنش $S$ را به صورت ریاضی می‌توانیم به صورت انتگرال زمانی تابع دیگری به نام $L$ بنویسم. چرا؟ چون این کَلک خوبی است که در ادامه از آن لذت خواهیم برد! اسم انتگرال‌ده را هم به احترام آقای لاگرانژ و زحماتی که برای این صورت‌بندی پیش‌تر از خیلی‌ها انجام داده لاگرانژی می‌گذاریم. لاگرانژی تابعی از مکان، سرعت و احیانا زمان است. کلا بنا را هم بر این بگذارید که داریم بازی ریاضی می‌کنیم با این ایده که گویی لاگرانژی اطلاعات مربوط به ویژگی های ذاتی جسم و برهمکنشهای آن با دیگر ذرات و موجودات دیگر را دارد و ما می‌خواهیم همه این اطلاعات بین دو زمان مشخص را به کنش نسبت دهیم. پس می‌نویسیم
$$S = \int^{t_2}_{t_1} L(q , \dot q, t) \, dt. $$
تا اینجا هیچ کار عجیبی نکرده‌ایم. فرض کرده‌ایم چیزی وجود دارد به اسم کنش که به صورت یک انتگرال تعریف می‌شود. همینطور از مختصات تعمیم یافته $q$ و $\dot q$ برای نشان دادن مکان و سرعت استفاده کرده‌ایم گویی می‌خواهیم از مختصه جدیدی به جای مثلا $x$ استفاده کنیم.
حالا می‌خواهیم ببینیم مسیر بهینه که اسمش را می‌گذاریم $q_{c(t)}$ چگونه به دست می‌آید. طبق چیزی که تعریف کرده‌ایم، مسیر بهینه باید کنش را کمینه (یا به عبارت فنی‌تر اکسترمم) کند. پس تحت تغییرات بینهایت کوچک مسیر، کنش متناظرش نباید تغییر خاصی کند. درست مانند وقتی که مشتق توابع پیوسته — که نشان‌دهنده تغییرات آن توابع هستند — در نقاط بیشینه یا کمینه‌شان صفر هستند. پس بیاید تغییرات کنش را حساب کنیم و برابر با صفر قرار دهیم
جمله ی آخر صفر است چون که ابتدا و انتهای مسیر را ثابت کرده‌ایم. البته می‌شد این انتخاب را انجام نداد و از جملات مرزی در مواردی استفاده کرد. اما برای این نوشته همین قدر جزئیات کافی است. از آن جا که $\delta q_{(t)}$ تغییراتی دلخواه است و برای مثال می‌تواند فقط در زمان دلخواه $t$ غیر صفر (تقریبا و با اغماض شبیه دلتای دیراک) باشد، انتگرالده‌مان باید در هر لحظه صفر باشد. پس کمینه کردن کنش، $\delta S =0$، نتیجه می‌دهد
این معادله همان چیزی است که بالای سر مرد عنکبوتی وسطی ابتدای این نوشته قرار دارد و در جامعه فیزیک مشهور است به معادله اویلر–لاگرانژ. این معادله معادلات حرکت را نتیجه می‌دهد. درست مانند قانون دوم نیوتون.
ولی لاگرانژی واقعا چیست؟ این سوال کمابیش در زبان نیوتونی مثل آن است که بپرسیم چه نیروهایی بر جسم وارد می‌شوند. برای پاسخ به این پرسش نیاز به شناخت سیستم و برهمکنشهای آن داریم. مثلا برای ذره‌ای که در حال حرکت تحت یک پتانسیل است، لاگرانژی این سیستم برابر با با اختلاف انرژی جنبشی و پتانسیل آن ذره است. توجه کنید که لاگرانژی کمیتی نرده‌ای است، برخلاف نیرو که کمیتی برداری است. از لحاظ ریاضی کار کردن با کمیت‌های نرده‌ای خیلی راحت‌تر است. این اولین حسن صورت‌بندی جدید است. همین طور توجه کنید که از لحاظ ابعادی، لاگرانژی بعد انرژی دارد. نکته دیگری که بد نیست بدانید این است که خیلی از اوقات لاگرانژی را بنا بر یک سری تقاضاهای فیزیکی مانند تقارن های حاکم بر سیستم حدس می‌زنیم. برای دیدن چند مثال در این مورد به این نوشته نگاه کنید: تقارن،قوانین پایستگی و اِمی نٌودِر.
این ویدیو سیر تاریخی این مسئله را به خوبی نشان می‌دهد:
منتظر ادامه این نوشته باشید.
اما اگر عجله دارید، این ویدیوها و این کتاب را نگاه کنید:
ویراستار: متن پیش رو نخستین بار توسط این نویسنده در سی و سومین شماره‌ی تکانه (نشریه علمی-آموزشی دانشجویان فیزیک دانشگاه صنعتی شریف) آمده. نویسنده از آقای علی گودرزی، آقای دکتر سامان مقیمی، آقای حسین مهدئی و آقای امیرحسین پیله‌وریان و همچنین خانم حانیه ملکی تشکر می‌کند.
برای درک بهتر این نوشته، سیتپور شنیدن این پادکست را پیشنهاد می‌کند:
فروکاست‌گرایی یا تقلیل‌گرایی باوری فلسفی است که همه‌ی قوانین حاکم بر طبیعت را می‌توان با تعداد کمی از «قوانین بنیادی» توصیف کرد. به‌عنوان مثال، این باور احتمالا رایج که رفتار یک سامانه دارای تعداد زیادی «ذره» (به‌عنوان مثال جعبه‌ای شامل تعداد زیادی مولکول گاز یا رفتارهای موجودی زنده که از تعداد زیادی مولکول تشکیل شده است) را می توان از طریق برآیند رفتار تک‌تک ذرات توصیف کرد، که البته حقیقت بدیهی‌ای به نظر نمی‌آید، از این باور فلسفی نشأت می‌گیرد. مثلا بیوفیزیک‌دانان در مقیاس «بنیادی‌تری» نسبت به زیست‌شناسان کار می‌کنند و تلاش می‌کنند برخی رفتارهای موجودات زنده را از طریق فیزیک حاکم بر مولکول‌ها و مواردی از این قبیل توصیف کنند. در این مقاله به طور خاص به فروکاست‌گرایی در فیزیک و بخشی از تأثیر آن در روند پیشرفت علم فیزیک می‌پردازیم.
از نظر تاریخی احتمالا این باور از حدود زمان گالیله و نیوتن به طور جدی‌تر وارد فیزیک شده است. شاید معروف‌ترین شاهد آن تلاش نیوتن برای نوشتن قانون گرانش باشد؛ او سعی کرد به قانونی برسد که تمام برهمکنشهای گرانشی را توضیح دهد. تلاش او در این راستا بود که حرکت سیارات، سقوط اجسام بر روی زمین و مواردی از این دست را بتواند با یک قانون واحد توضیح دهد. یک نکته‌ی قابل بحث این است که به نظر نمی‌آید الزامی برای «وجود» قانونی واحد باشد که همه‌ی برهمکنشهای گرانشی را توضیح دهد. به نظر می‌آید از نظر تاریخی، در ادامه و بعد از زمان گالیله و نیوتن این نگرش به مرور بیشتر وارد فیزیک شده است. چند الگوی جالب و مشخص‌تر در برخی اتفاقات پررنگ مربوط به این دیدگاه در علم فیزیک مشاهده می‌شود که به آنها خواهیم پرداخت (هر چند که این دسته‌بندی شامل همه الگوها نمی‌شود و لزوما یکتا نیست).
نظریه موثر
زیاد پیش می‌آید که در فیزیک، نظریه‌ی توجیه کننده‌ای پدیده‌ای — که با مشاهدات تعارض خاصی ندارد — را به عنوان نظریه‌ی موثر یک نظریه‌ی بنیادی‌تر بنویسند. یکی از معروف‌ترین تلاش‌ها در این راستا ساختن مکانیک آماری است، که کل نظریه‌ی ترمودینامیک را به مکانیک بس ذره‌ای تقلیل می‌هد و تلاش می‌کند با روش‌های آماری، ترمودینامیک را به عنوان نظریه‌ی موثری از مکانیک نیوتنی و بعد از آن مکانیک کوانتومی بسازد. هر گاه بین نظریه‌ی به نسبت پذیرفته شده موجود و مشاهدات (تجربه) تعارضاتی مشاهده شود، فیزیکدان‌ها تلاش می‌کنند تا با رعایت اصل همخوانی، نظریه‌ی جدیدی بسازند؛ به این معنا که نظریه‌ی جدید باید در حالات حدی مشخصی نتایج نظریه‌ی سابق را مجنر شود. مثلا نظریه‌ی نسبیت یا مکانیک کوانتومی که در پی هم‌خوان نبودن مشاهدات تجربی با نظریه‌های کلاسیک ساخته شدند در حدهایی نتایج مکانیک کلاسیک را بازتولید می‌کند. به هر حال، نظریه مکانیک کلاسیک کامل نیست ولی در برخی حدود بسیار خوب کار می‌کند. به قول فاینمن، علم در مورد این نیست که چه چیز درست یا نادرست است، بلکه در مورد این است که ما چه چیز را با چه دقتی می‌توانیم توصیف کنیم. مکانیک کلاسیک برای سرعت‌های پایین یا اندازه‌های خاصی در اکثر موارد با دقت خوبی با مشاهدات ما همخوانی دارند. نظریه‌های پیشرفته‌تری چون مکانیک کوانتومی و نسبیت هم در این حدود تبدیل می‌شوند به مکانیک کلاسیک. گاهی نظریه‌های جدید برای از بین بردن تعارضات دو نظریه جا افتاده تهیه می‌شوند. مثلا سوای مشاهدات آزمایش مایکلسون – مورلی، نسبیت خاص به دنبال بهبود نظریه مکانیک کلاسیک برای همخوانی با نتایج نظریه الکترومغناطیس ساخته شد.
پدیدارگی
گاهی در سامانه‌های بس‌ذره‌ای ویژگیهای جدیدی اصطلاحا«پدیدار می‌شوند» بی‌آن‌که ذرات سازنده آن سامانه آن ویژگی یا ویژگی‌ها را در خود داشته باشند. از طرف دیگر، رفتار برخی سامانه‌ها در سطوح مختلف را بدون دانستن سطوح بالاتر یا پایین‌تر آن می‌توان فهمید. پدیدارگی یا پدیدار شدگی به به‌وجود آمدن ویژگیهای یک سامانه در سطوح بالاتر پیچیدگی اشاره دارد که در تک تک اجزای آن در سطح پیچیدگی کمتر قابل مشاهده نیست و فقط در برآیند کل سامانه و با در نظر گرفتن کل اجزا و برهمکنش‌هایشان می‌توان آنها را دید. فیلیپ اندرسون در مقالهای با عنوان «بیشتر، متفاوت است» این ایده را مطرح کرد که برای درک برخی از پدیده‌ها، پرداختن به نظریه‌های «بنیادی‌تر» لزوما سودمندتر نیست. مثلا انتظار می رود که علی‌الاصول کل شیمی را از فیزیک بس‌ذره‌ای بتوان را استخراج کرد. اندرسون این ایده را مطرح می‌کند که این نظریه‌های موثر که در سطوح پیچیدگی بالاتری ساخته می‌شوند باید (از نظر خودش) به همان اندازه «بنیادی» تلقی شوند که نظریه‌های با سطح پیچیدگی کمتر تلقی می‌شوند، چون عملا بسیاری از اوقات «بنیادی‌ترین» چیزی هستند که با آن می‌توان مشاهدات را توصیف کرد. اندرسون از این دیدگاه انتقاد می‌کند که گاهی تنها به فیزیکدانان ذرات بنیادی به عنوان کسانی که کار «بنیادی» می‌کنند نگاه می‌شود، اما نظریه‌های ذرات بنیادی در عمل نمی‌توانند بسیاری از پدیده‌هایی که مشاهده می‌کنیم و حاصل برهمکنش تعداد زیادی ذره هستند را توصیف کنند.
یکی دیگر از موارد قابل ذکر این است که نظریه‌های در سطوح پیچیدگی بالاتر خیلی اوقات برگرفته و حاصل تقریباتی از نظریه‌های بنیادی‌تر هستند و کاملا بدون اتکا به آنها نیستند. در واقع برای ساده‌تر شدن مدل و معادلات خیلی از این نوع نظریه‌ها تقریباتی را وارد می‌کنند و با در نظر گرفتن اصل نظریه بنیادی‌تر، از بسیاری از پیچیدگی‌ها صرف نظر می‌کنند. به عنوان مثال می‌توان به مدل هابارد در فیزیک ماده چگال اشاره کرد. در این مدل از برهمکنش الکترون‌های غیر نزدیک صرف نظر می‌شود و مقدار پتانسیل حاصل از برهمکنش الکترون‌های نزدیک هم به عنوان تابعی از بقیه‌ی پارامترها وارد مدل نمی‌شود. در این مورد مثلا ایده‌ی تقریب را می‌توان در قانون کولن دید، به دلیل رابطه‌ی عکس پتانسیل با فاصله، از پتانسیل ناشی از الکترون‌های در فواصل دور از هم صرف‌نظر می‌شود. در سامانه‌های پیچیده هم از این جنس ایده‌ها استفاده می‌شود. فایده‌ی این کار این است که با اجتناب از درگیر محاسبات گاهی طولانی شدن، می‌توان راحت‌تر به استنتاج نتایج حاصل از مدل پرداخت. البته میزان کارا بودن مدل ساده‌سازی شده باید با نتایج آزمایش‌ها مطابقت داده شود.
نکته‌ی دیگری که وجود دارد بحث سودمند بودن یا نبودن توصیف پدیده‌های پیچیده توسط نظریه‌های با سطح پیچیدگی کمتر است. فرض کنید بتوان با کامپیوترهای آینده سامانه‌های بس‌ذره‌ای را با نظریه‌های در سطح اتم‌ها حل عددی کرد. مشکلی که وجود دارد این است که حجم اطلاعات به دست آمده به این صورت بسیار زیاد است و بسیاری از آنها را نمی‌توان به طور مستقیم در پدیده‌هایی که نیاز به توصیفشان را داریم مشاهده کرد. مثلا یک ظرف گاز را در نظر بگیرید. حتی اگر معادلات حرکت حاکم بر تک تک ذرات را بتوانیم به صورت کلاسیک حل کنیم، مشکل بعدی این هست که چیزی که مشاهده می‌کنیم مکان تک تک ذرات نیست. تابعیت زمان مکان تک تک ذرات برای توصیف یک سامانه ترمودینامیکی کارایی خاصی ندارد. حتی در این حالت هم باید دنبال کمیت‌های موثری بگردیم، کمیت‌هایی که در این سطح از پیچیدگی پدیدار می‌شوند و سعی کنیم از حل عددی معادلات حرکت همه‌ی ذرات به طریقی به آنها برسیم. در ترمودینامیک کمیت‌هایی مثل فشار و دما از این جنس هستند.
یکی ازمشکلاتی که گاهی از نظر عملی به تلاش برای توصیف یک سامانه با تعداد کمی پارامتر توسط نظریه‌های در سطح پیچیدگی بالاتر وارد می‌شود، این است که این کار بسیار ساده‌انگاری دارد و همیشه نمی‌توان کل سامانه بس‌ذره‌ای را توسط تعداد کمی کمیت موثر توصیف کرد. دکتر خرمی در مقالهای که در زمینه‌ی فروکاست‌گرایی نوشته‌اند اینطور استدلال می‌کنند که این نکته نسبتا بدیهی است. می‌توان تعداد کمیت‌های موثر را بیشتر کرد (و حتی مثلا تمام ذرات گاز را در نظر گرفت) ولی به این قیمت که میزان محاسبات بیشتر شود. وقتی محدودیت توان و انرژی داشته باشیم، این نهایت کاری است که می‌توانیم بکنیم. اگر در آینده این محدودیت‌ها کمتر شد، و البته نیاز به دقت بیشتری وجود داشت، می‌توان محاسبات را دقیق‌تر کرد و آنها را با نظریه‌های با سطح پیچیدگی کمتری پیش برد. مثالی که در مقاله‌شان به آن اشاره می‌کنند در مورد هواشناسی است. اینکه در گذشته به دلیل کم‌قدرت‌تر بودن کامپیوترها مجبور بودند محاسبات را ساده‌تر کنند به این قیمت که دقت پیشبینی‌ها کم می‌شد و همچنین مقیاس زمانی‌ای که پیشبینی‌ها تا آن تا حد معقولی کار می‌کردند کمتر می‌شد. ولی این نهایت کاری بود که می‌توانستند بکنند و اصطلاحا «از هیچ چیز بهتر بود». اما بعدا با قدرتمندتر شدن کامپیوترها و ابزارهای محاسبه پیشبینی‌ها بهتر شدند و تا مقیاس زمانی بزرگ‌تری قابل اتکا بودند.
کهکشان راه‌شیری امروزی ما حاصل ادغام کهکشان باستانی راه‌شیری با عمر حدود ١٣ میلیارد سال و یک کهکشان کوچک‌تر به نام گایا-انسلادوس است که حدود ١٠ میلیارد سال قبل، با یکدیگر برخورد کردند و باهم کهکشان بزرگتر امروزی را تشکیل دادند. البته این تنها برخورد کهکشانی برای راه‌شیری نبوده و برخورد دیگری در راه است؛ این بار با کهکشان آندرومدا، نزدیک‌ترین کهکشان همسایۀ بزرگ به ما.
با بزرگتر شدن تلسکوپ‌ها و بالاتر رفتن کیفیت تصاویر در چند دهه اخیر، قاب‌های جذابی از کهکشان‌های در حال ادغام در فواصل مختلف در عالم ثبت شده. اتفاقی که ممکن است برای کهکشان‌های مجاور یکدیگر به‌دلیل برهمکنشهای گرانشی رخ بدهد. آندرومدا حدود ٢.۵ میلیون سال نوری از راه‌شیری فاصله دارد و با سرعت بسیار زیاد در حدود ٣٠٠ کیلومتر بر ثانیه، در حال نزدیک شدن به ما است (جهت مقایسه، سرعت زمین به دور خورشید حدود ۳۰ کیلومتر بر ثانیه هست). بنابراین تخمین زده می‌شود که تا حدود ۵ میلیارد سال دیگر، این دو کهکشان باهم برخورد خواهند کرد و یک هم‌آغوشی کهکشانی را رقم خواهند زد!
در برخورد کهکشان‌ها، خیلی بعید است که ستار‌ها با یکدیگر مستقیماً برخورد کنند؛ چون فواصل ستاره‌ها در داخل کهکشان‌ها از هم بسیار زیاد و فضای خالی میان‌ستاره‌ای در مقایسه با ابعاد ستاره‌ها، خیلی خیلی بزرگتر است. برای منظومۀ شمسی ما، از این بابت، اتفاقی نخواهد افتاد. اما تا زمان برخورد دو کهکشان، سوخت خورشید تمام و تبدیل به یک غول سرخی می‌شود که شاید زمین را هم در خود بلعیده باشد. البته تا چند میلیون سال آینده، به دلیل افزایش فعالیت‌ها‌ی خورشیدی، عملاً حیات بر روی زمین غیرممکن خواهد بود؛ هرچند داستان انقراض حیات بر روی زمین، نه میلیون‌ها سال بعد، که شاید خیلی زودتر، به دست خودِ بشر، به‌علت زیادی‌خواهی‌هایش رقم بخورد!
ادغام راه‌شیری و گایا-انسلادوس Credit: Gabriel Pérez Díaz / SMM (IAC)ویدیو ساختگی از ادغام کهکشان‌ها و تبدیل شدن به یک کهکشان دیسکی
«این مقاله را در ابتدا در ماه می ۲۰۰۷ به‌عنوان بخشی از توصیه‌هایم به دانشجویان تحصیلات تکمیلی در وبلاگم نوشتم و اساس آن تجربه‌ٔ تعامل با تعدادی از این دانشجویان، پژوهشگران فرادکتری و همکارانم بود که در حال یادگرفتن چم‌وخم پژوهش در ریاضیات بودند. این یکی از پربازدیدترین و پرکامنت‌ترین مقاله‌های وبلاگم بود و دلیلش شاید تا حدی نتیجه‌گیری‌های غیرشهودی آن بود.» تائو
بهتر است مراقب مفاهیمی چون نبوغ و الهام باشید؛ این‌ها مانند عصای جادویی هستند و باید با احتیاط و به میزان اندک توسط افرادی که می‌خواهند به درکی روشن از امور دست یابند، به کار گرفته شوند.
پاسخ یک نهٔ قاطع است. برای مشارکت خوب و مفید در ریاضیات آدم باید سخت کار کند، مطالب رشتهٔ خودش را خوب فرا بگیرد، با رشته‌ها و ابزارهای دیگر آشنا شود، سؤال بپرسد، با ریاضی‌دان‌های دیگر صحبت کند و دربارهٔ «چشم‌انداز کلی» فکر کند. و بله، مقدار مناسبی هوش، شکیبایی و پختگی هم لازم است. ولی هیچ‌کس به نوعی «ژن نبوغ» جادویی نیاز ندارد، که خودبه‌خود و از هیچ، بینش عمیق، راه‌حل‌های غیرمنتظره یا توانایی‌های فوق‌طبیعی دیگر بیافریند.
تصویر معمول نابغهٔ تنها (و احتمالاً کمی خُل) –که نوشتارگان (منابع) و خرد متعارف را نادیده می‌گیرد و موفق می‌شود با استفاده از نوعی الهام غیرقابل‌توضیح (که احتمالاً با ریاضت‌های فراوان تقویت شده) به یک راه‌حل بدیع نفس‌گیر برای مسئله‌ای دست یابد که همهٔ متخصصان مغلوبش شده بودند — تصویری فریبنده و رمانتیک اما درعین‌حال به‌شدت نادرست است، دست‌کم در دنیای ریاضیات مدرن. البته نتایج و بینش‌های چشم‌گیر، عمیق و قابل‌توجهی در این رشته وجود دارد، ولی این‌ها دستاوردهای به‌سختی به دست آمده و انباشته شده سال‌ها، دهه‌ها و حتی قرن‌ها کار و پیشرفت بی‌وقفهٔ تعداد زیادی ریاضی‌دان خوب و بزرگ است. عبور از یک مرحله از درک به مرحلهٔ بعدی می‌تواند بسیار غیربدیهی و گاهی غیرمنتظره باشد اما همچنان بر کارهای قبلی استوار است، نه‌این‌که از یک جای کاملاً جدید شروع شود. (مثلاً کارهای وایلز روی قضیه آخر فرما یا کارهای پرلمان روی حدس پوانکاره از این نوع است).
درواقع من امروز واقعیت تحقیقات ریاضی را — که در آن پیشرفت به‌شکل طبیعی و انباشتی از کار سخت، به‌کمک شهود، نوشتارگان و کمی شانس حاصل می‌شود — بسیار پذیرفتنی‌تر می‌دانم تا تصویر رمانتیکی که در زمان دانشجویی از ریاضیات داشتم که پیشرفتش در درجهٔ اول ناشی از الهام‌های رازآلودِ گونهٔ نادری از «نوابغ» بود. این «فرقه نوابغ» درواقع مشکلاتی ایجاد می‌کند، زیرا هیچ‌کس قادر نیست این الهامات (بسیار نادر) را به‌شکل منظم و با صحتی که به‌طور قابل‌اعتمادی سازگار باشد ایجاد کند. (اگر کسی وانمود می‌کند که می‌تواند چنین کاری انجام دهد، توصیه می‌کنم نسبت به ادعاهایش بسیار بدبین باشید).
فشارِ تلاش برای رفتار به چنین شیوهٔ ناممکنی به وسواس «مسائل بزرگ» یا «نظریه‌های بزرگ» در برخی افراد می‌انجامد، برخی دیگر هرگونه شک‌گرایی طبیعی نسبت به کار خود یا ابزارهایشان را از دست می‌دهند و دیگرانی هم هستند که نسبت به ادامهٔ کار در ریاضیات دلسرد می‌شوند.
همچنین، نسبت دادن موفقیت به استعداد ذاتی (که خارج از کنترل شخص است) به‌جای کوشش، برنامه‌ریزی و آموزش (که تحت کنترل شخص است) می‌تواند به مشکلات دیگری نیز بینجامد.
برخلاف مسابقات ریاضی، ریاضیاتِ حرفه‌ای ورزش نیست!
– تری تائو
البته، حتی اگر مفهوم نبوغ را کنار بگذاریم، باز هم همیشه ریاضی‌دان‌هایی پیدا می‌شوند که سریع‌تر، باتجربه‌تر، مطلع‌تر، کارآمدتر، دقیق‌تر یا خلاق‌تر از دیگران باشند. با این همه، معنایش این نیست که فقط «بهترین» ریاضی‌دان‌ها باید ریاضی بورزند؛ این خطای رایجِ اشتباه گرفتن مزیت مطلق با مزیت نسبی است. تعداد حوزه‌های پژوهش و مسئله‌های جالب برای کار کردن در ریاضیات فراوان است — بسیار بیشتر از آن که فقط بهترین ریاضی‌دان‌ها بتوانند همهٔ آنها را انجام دهند — و گاهی مجموعهٔ ابزارها و ایده‌هایی که شما دارید به چیزی می‌انجامد که از دید ریاضی‌دان‌های خوب دیگر پنهان مانده است، به‌خصوص که حتی بزرگ‌ترین ریاضی‌دان‌ها هم در برخی جنبه‌های پژوهش ریاضی ضعف‌هایی دارند.
تا زمانی که تحصیلات، علاقه و مقدار مناسبی استعداد داشته باشید، بخش‌هایی از ریاضیات هست که شما می‌توانید مشارکت قوی و مفیدی در آنها داشته باشید. شاید جذاب‌ترین بخش ریاضیات نباشد، ولی واقعاً یک چیز درست و درمان است؛ خیلی وقت‌ها جزئیات معمولی یک موضوع مهم‌تر از هر کاربرد شیکی از آب در می‌آیند. همچنین، پیش از آن که اصولاً فرصتی برای درگیر شدن با مسائل معروف یک حوزه به‌دست آورید، لازم است که در بخش‌های غیرجذاب آن حوزه هم تجربه‌هایی کسب کنید؛ نگاهی به آثار اولیهٔ هر کدام از ریاضی‌دان‌های بزرگ امروز بیندازید تا متوجه منظورم بشوید.
گاهی اوقات، استعداد خام زیادی ممکن است (از بد روزگار) در عمل برای پیشرفت ریاضی درازمدت فرد مضر باشد؛ برای مثال، اگر مسئله‌ها خیلی ساده حل شوند، ممکن است شخص به‌اندازهٔ کافی انرژی صرف سخت‌کوشی، پرسیدن سؤال‌های ابلهانه یا افزایش وسعتِ دید خود نکند و این ممکن است نهایتاً به رکود مهارت‌هایش بینجامد. همچنین، اگر فرد به موفقیت‌های ساده عادت کرده باشد، ممکن است شکیبایی لازم برای سروکله زدن با مسائل واقعاً دشوار را به‌دست نیاورد (برای پدیدهٔ مشابهی در مهندسی نرم‌افزار سخنرانی پیتر نورویگ را ببینید، البته این شفاف‌سازی را هم ببینید). استعداد مطمئناً مهم است، اما چگونگی توسعه دادن و پرورش آن مهم‌تر است.
همچنین خوب است به یاد داشته باشید که ریاضیاتِ حرفه‌ای ورزش نیست (کاملاً برخلاف مسابقات ریاضی). هدف اصلی در ریاضیات دست‌یابی به بالاترین رتبه، بالاترین «امتیاز» یا بیشترین تعداد جوایز نیست؛ بلکه افزایش درک ریاضی (هم برای خودتان و هم برای همکاران و دانشجویانتان)، و مشارکت در توسعه و کاربردهای آن است. برای این کارها، ریاضیات به همهٔ آدم‌های خوبی که بتواند پیدا کند نیاز دارد.
برای بیشتر خواندن
“How to be a genius,” David Dobbs, New Scientist, 15 September 2006. [Thanks to Samir Chomsky for this link.]
“The mundanity of excellence,” Daniel Chambliss, Sociological Theory, Vol. 7, No. 1, (Spring, 1989), 70-86. [Thanks to John Baez for this link.]
در دو دهه گذشته، مدل‌سازی پخش بیماری‌های عفونی در جوامع به کمک ابزارهای فیزیک آماری و علم شبکه گسترش فراوانی داشته. دوره دکتری من هم معطوف به مدل‌سازی پخش بیماری‌ها و همه‌گیری در جوامع بود. پژوهش اصلی من پیرامون این ایده بود که ارتباطات افراد مختلف در یک جامعه چه‌طور بر شدت و حدت شیوع یک بیماری اثر می‌گذارند و بعد از آن چگونه می‌شود اثربخشی مداخله‌هایی مانند واکسیناسیون یا رهگیری تماس را بهینه کرد.
پایان‌نامه دکتری من علاوه بر مقالات پژوهشی شامل سه فصل آموزشی پیرامون علم شبکه و همه‌گیرشناسی محاسباتی است. در این اثر، به اثرات ویژگیهای شبکههای اجتماعی مانند ناهمگنی‌های ارتباطی، هوموفیلی رفتاری، اندازه گروه‌های اجتماعی و تحولات زمانی شبکهها بر بهبودبخشی اثرات مداخلهها پرداخته شده.
نسخه الکتروینکی این اثر را در اینجا می‌توانید ببینید.
علم شبکه و مدل‌سازی پخش بیماری در حضور مداخلهها
Consequences of Social Network Structure for Epidemic Interventions
برای یادگیری بیشتر به مطالب این نوشته یا این ویدیو نگاه کنید:
مقدمه‌ای بر شبکههای پیچیده
سخنرانی آنلاین دانشگاه تهران به دنبال توجیه رفتارهای جمعی در سیستم‌های فیزیکی و زیستی به اهمیت برهمکنشهای نابدیهی و شبکههای پیچیده می‌رسیم و به ویژگیهای این شبکهها و پدیده‌های دینامیکی روی آنها می‌پردازیم. سرانجام در مورد مدل‌سازی‌های انتشار ویروس کرونا صحبت خواهیم کرد!
