ماجرا از اینجا شروع میشه که ما همه‌جا با تقارن سروکار داریم. از ساختار بدن خودمون گرفته تا اشکالی که توی طبیعت هست، معماری‌های قدیمی و مدرن،فرش زیرپامون، وسایلی مثل تلفن همراه و … . تقارن توی هنر ارزش خاصی داره مخصوصا توی هنر اسلامی. اکثر مساجد درون و بیرونشون کاملا متقارن ساخته میشه! پپیشنهاد میکنم نوشته‌ی «گفتگو با استاد» از کتاب «اطاق آبی» سهراب سپهری رو بخونید! توی این نوشته، سپهری در مورد تقارن در نقاشی با یکی از اساتیدش بحث میکنه.
توی ریاضیات و فیزیک هم تقارن اهمیت خاصی داره، یکی از کارهای فیزیکدانها پیدا کردن تقارنه! هر چند که شکستن تقارن هم خودش یه موضوع خیلی جالب و چالشی هست ولی موضوع این پست نیست. همینطور برای فیزیکدانها اهمیت داره که بدونند که چه چیزهایی ثابت هستند و به بیان بهتر، فیزیکدانها دوست دارند بدونند که چه کمیت‌هایی پایسته (پایستار) هستند. حتما اسم قانون‌هایی مثل پایستگی انرژی به گوشتون خورده حتی اگر اهل فیزیک نباشید!
حالا با این مقدمه‌ای که گفتم فکر کنید که یک نفر پیدا بشه و «تقارن» و «پایستگی» کمیت‌ها رو به هم متصل کنه! چه اتفاق فرخنده‌ای خواهد شد! این کار رو خانم امی نودر ریاضیدان تاثیرگزار آلمانی در سال ۱۹۱۵ انجام داد، چیزی که به عنوان قضیه‌ی اول نودر امروز فیزیکدانها میشناسندش. سال ۱۹۱۵ دیوید هیلبرت و فلیکس کلاین از نودر دعوت کردند تا به دانشکده‌ی ریاضی دانشگاه گوتینگن بیاد و به اونها توی فهم نسبیت عام که توسط اینشتین مطرح شده بود کمک کنه.
همینطور که می‌دونید نسبیت‌عام یک نظریه‌ی هندسی از گرانشه و بعضی‌ها بر این باورند که اگر اینشتین نسبیت‌عام رو کشف نمی‌کرد، حتما توسط آدم‌هایی مثل هیلبرت و امثال هیلبرت این نظریه کشف می‌شد؛ با این وجود ریاضیدانها، فیزیک نمی‌دونستند و سرانجام افتخار این کشف به آینشتاین رسید! دعوت از نودر حاشیه‌های زیادی هم به همراه داشت، از جمله اینکه در اون زمان حضور زن‌ها در دانشگاه مخالفان زیادی داشت ولی هیلبرت محکم جلوی این طرز تفکر نادرست ایستاد و از نودر به خوبی حمایت کرد! قضیه نودر، سال ۱۹۱۵ بیان و اثبات شد ولی نودر تا سال ۱۹۱۸ از انتشار اون خودداری کرد. بعد از این که کار نودر به دست اینشتین رسید، اینشتین نامهای به هیلبرت می‌نویسه و توی اون میگه: «دیروز مقاله‌ای بسیار جالب در مورد ناوردایی از خانم نودر دریافت کردم. من از اینکه این چیزها با این کلیت قابل فهم هستند تحت تاثیر قرار گرفته‌ام! پاسداران قدیمی گوتینگن باید از خانم نودر درس بگیرند، به نظر می‌رسد که او کارش را بلد است!» جالبه که بدونید آدم‌هایی از جمله اینشتین، نودر رو مهم‌ترین خانم در تاریخ ریاضیات خطاب کرده اند!
قضیه نودر بیان میکنه که:
«برای هر تقارن (پیوسته)موجود در یک سامانه، یک کمیت پایستار وجود دارد.»
این قضیه منجر به این شد که دو مقوله‌ی ظاهرا متفاوت بهم متصل بشند و نتیجه‌ی این وصلت هم، وصل شدن فیزیک نظری به سیستم‌های دینامیکی و بالعکس شد. این قضیه یک ابزار بسیار قدرتمند برای فیزیک وحساب وردشهاست و در مکانیک لاگرانژی و همیلتونی (که فرمالیسمی مشابه با مکانیک نیوتونی هستند) کاربرد اساسی داره. در حقیقت واژه‌ی «تقارن» در صورت قضیه به طور دقیق‌تری، اشاره میکنه به هموردایی فورمی که یک قانون فیزیکی نسبت به تبدلات گروه لی دریک بعد (با ارضا کردن شرایط فنی) داره. بد نیست بدونید که معمولا قانون پایستگی برای هر کمیت فیزیکی با یک معادله‌ی پیوستگی بیان میشه که خب مجال توضیحش توی این پست نیست! تغییر نکردن یک کمیت در اثر تحول سیستم (ناوردا باقی موندن) به معنی پایستگی اون کمیت هست و به بیان ریاضی اگر تغییرات یک کمیت نسب به زمان صفر باشه. اون کمیت ثابته: \( dA/dt =0 \)
اجازه بدید کمی تخصصی تر حرف بزنیم:
توی فرمالیسم مکانیک لاگرانژی برای سادگی بیشتر از مختصات تعمیم یافته استفاده میشه. اگر با مختصات تعمیم‌یافته آشنا نیستید نگران نباشید، ایده‌ی ساده ولی کاربردی هست، توی اکثر کتاب‌های درسی مکانیک کلاسیک (مکانیک تحلیلی) در موردش بحث شده؛ در حالت کلی مختصات تعمیم یافته، می‌تونند چیزهایی غیر از x,y,z باشند، مثلا زاویه! بعد از مشخص شدن مختصات تعمیم یافته، لاگرانژی به صورت اختلاف انرژی جنبشی و پتاسیل سامانه به صورت \(L=T-V , L=L(q,p, t) \) مشخص میشه. لاگرانژی تابعی از مختصات تعمیم یافته(q)، تکانه‌ی تعمیم یافته (p) ( تکانه تعمیم یافته مشتق زمانی مختصات تعمیم یافته است) و احیانا زمان هم هست. با استفاده از لاگرانژی و استفاده از معادله‌ی اویلر-لاگرانژ می‌تونیم به راحتی معادلات حرکت رو به دست بیاریم.
منظور از qنقطه همون مشتق زمانی q یا تکانه تعمیم یافته (p) هست. اندیس k یعنی kامین مختصه‌ی تعمیم یافته و… . حالا اگر تغییرات لاگرانژی نسبت به یکی از اون مختصات تعمیم یافته صفر باشه، یعنی طرف راست معادله صفر باشه ، اون‌موقع طرف چپ معادله هم صفر میشه و این یعنی تغییرات لاگرانژی نسبت به تکانه‌ی تعمیم یافته ثابته! 
خب حالا این یعنی چی؟!
مثال۱) فرض کنید که شما یک توپی رو به هوا پرتاب می‌کنید، مختصات تعمیم یافته توی این حالت، همون x,y,z در دستگاه دکارتی هست. برای این توپ لاگرانژی به صورت زیر نوشته میشه:
همون جوری که می‌بینید توی این لاگرانژی خبری از y , x نیست! پس مشتق L نسبت به y یا x صفر هست که نتیجه‌ش ثابت بودن مشتق L نسبت yنقطه (سرعت در جهت y) و xنقطه (سرعت در جهت x) هست. با حل معادله اویلر-لاگرانژ (حل کنید!) به این میرسیم که تکانه در جهت x , y ثابته: 
توی این مثال دیدیم که تکانه (حاصل‌ضرب m در xنقطه یا yنقطه) در دو جهت پایسته بود و در صورت لزوم می‌تونیم از قانون پایستگی تکانه هم استفاده کنیم!
مثال۲) فرض کنید که یک ذره در پتانسیلی باشه که فقط به فاصله‌ش از محور z ها وابسته است، اون‌موقع اگر لاگرانژی رو در دستگاه مختصات استوانه‌ای بنویسیم، خواهیم داشت: 
می‌بینید که توی لاگرانژی خبر از z و θ نیست. دوباره با حل معادله اویلر لاگرانژ به این نتیجه میرسیم که تکانه در جهت z و θ پایسته است که این به معنی ثابت بودن تکانه‌ی خطی در جهت z و پایستگی تکانه‌ی زاویه‌ای در جهت θ هست.
خب ما توی این دو تا مثال به پایستگی دو کمیت به نامهای تکانه‌ی خطی و تکانه‌ی زوایه‌ای رسیدیم. طبق قضیه‌ی نودر چیزی که این کمیت‌های پایسته رو به‌وجود اورده، چیزی نیست جز تقارن! توی مثال اول تقارن توی صفحه‌ی xy (صفحه‌ی موازی سطح زمین)وجود داشت. یعنی اینکه فرقی نمی‌کرد که توپ ما در کجای این صفحه بود، مهم این بود که چقدر از زمین بالا یا پایین باشه، به عبارت دیگه تقارنی که در انتقال توپ ما در صفحه xy (یا در جهت x و جهت y) وجود داشت سبب پایستگی تکانه‌ی خطی در جهت x,y شد! توی مثال دوم هم تنها چیزی که اهمیت داشت انتقال در جهت r یا همون جابه جایی از محور z بود و این اصلا مهم نبود که شما در جهت z یا در جهت θ انتقال یا جابه‌جایی انجام بدین. بنابراین به خاطر تقارن موجود در انتقال در جهت z ، پایستگی تکانه‌ی خطی در جهت z و به خاطر تقارنی که در جهت θ بود پایستگی تکانه‌ی زاویه‌ای در جهت θ داشتیم. یعنی با استفاده از قضیه نودر، بدون حل معادله اویلر-لاگرانژ،می‌تونستیم کمیت‌های پایسته رو از روی لاگرانژی تشخیص بدیم.
به طور خلاصه می‌تونیم این جدول رو داشته باشیم:
تقارن در زمان یعنی اینکه اگر رفتار سامانه‌ی ما مستقل از زمان باشه به این معنی که هرچقدر زمان بگذره سیستم تغییر نکنه، اون موقع انرژی برای اون ثابت و پایسته است. برای مثال، وقتی شما نوسانگری که درخلا در حال نوسان با دوره‌ی تناوب T هست رو امروز می‌بیند و دوباره فردا هم با همون دوره تناوب می‌بینیدش، یعنی اینکه انرژی برای این نوسانگر پایسته است!
خیلی چیزها خلاصه میشه توی همین قضیه! زمین گرده چون که بیشترین تقارن رو کره داره و این گردی سبب میشه که تکانه‌ی زاویه ای حفظ بشه! همین طور مدار سیاره ها و …
خب در انتها جا داره که یک بار دیگه درود بفرستیم به امی نودر!
برای عمیق‌تر شدن نگاهی داشته باشید به این نوشته از وبلاگ تائو:
Noether’s theorem, and the conservation laws for the Euler equations
و این نوشته: Getting to the Bottom of Noether’s Theorem
سلام
عباس عالی بود
خسته نباشی
حسابی که کیف کردم
اتفاقی با سایتتون آشنا شدم، مرام نامه تون رو خوندم که توش نوشته بودید به هیچ وجه مطلب غیر علمی منتشر نمیکنید و همینطور کاملا بی طرف هستید و بازم اتفاقی تو این مطلب چشمم به این خط افتاد:
“همین جور که می‌دونید نسبیت‌عام یک نظریه‌ی هندسی از گرانشه و بعضی‌ها بر این باورند که اگر اینشتین نسبیت‌عام رو کشف نمی‌کرد، حتما توسط آدم‌هایی مثل هیلبرت و امثال هیلبرت این نظریه کشف می‌شد؛ ولی خب معمولا فیزیکدانها باهوش‌تر از ریاضیدانها هستند و اینشتین افتخار این کشف رو به ریاضیدانها نداد!”
و دقیقا این نشون میده که خودتون هم به مرام نامه خودتون کاملا پایبند نیستید!
موفق باشید
سلام
البته که این یه شوخی بود، با این وجود تذکر به جایی بود. متن اصلاح شد.
دست مریزاد که خیلی باحالید،
چند ساعت پیش یه کامنت گذاشتم راجع به اینکه خودتون هم به مرام نامه اتون پایبند نیستید و چون کلیت این بلاگ برام جالب بود منتظر بودم که اگه پاسخ قانع کننده ای داشتید بازم سر بزنم ولی حتی کامنت رو هم چاپ نکردید! و این کاملا نشون دهنده علمی و بی طرف بودن شماست!
دوست گرامی، اندکی بیشتر صبر می‌کرید خب 🙂
نمیدونم چه اصراری به این قضیه دارید.
در مورد کامنت دوم حق با شماست، من صفحه رو که باز کردم که ببینم کامنتم تایید شده یا نه، کامنتم در انتظار تایید نبود و چاپ هم نشده بود که فکر کنم به خاطر مشکل تو لود شدن صفحه بود.
موفق باشید
سلام.
متوجه نمیشم! هر پایستگی و تقارن بهم ربط دارن؟؟؟!!!
تو مکانیک ما با تقارن فقط سه تا پایستگی رو اثبات کردیم(مثل بالا). ولی مثلا پایستگی بار الکتریکی چه تقارنی باعثش شده؟!
یا خیلی از پایستگی ها که من راجبش چیزی نمیدونم…
فکر کنم فقط برای تقارن های فضا زمانی باشه این قضیه ی جالب.
ممنون بابت مطلب جالبتون.
با سلام. برام جالب هست. ظاهرا نوسته بودیند که فیزیکدانها از ریاضییدانها باهوشترند. خب نیازی نداشت که پاک کنید چون هر آشنای به علمی میداند که موقعیت ریاضیات کجاست و موقعیت فیزیک و سایر علوم وابسته به ریاضیات کجاست. هر آشنای به علمی میداند که سهم ریاضیدانان در تولید فیزیک چقدر بوده است، بخش اعظم فیزیک توسط ریاضیدانانی به وجود آمده است ک در کنار ریاضیات، به علوم دیگری مانند فیزیک و نجوم و هر علم دیگری پرداخته اند. همه میدانند ک این ریاضیات هست که مادر علوم هست. راستی بعید میدانم ک بدانی نقش ریاضیدانها در اینکه نسبیت توسط اینشتین پایه گذاری بشه، چقدر بوده است. برای مثال موضوع بعد چهارم از کجا آمد، فضاهای مورد نیاز در نسبیت توسط چه کسی به وجود آمد و غیره و غیره. ادمین جان عذر میخام ولی میگم، به نظر من اون جمله ی طنز و البته شومی ک گفتی به دلیل عقده ای بود که از ریاضیدانها و برتری ی مطلق آنها نسبت به فیزیکدانها داشتی. در همین مقاله ی کوچک از لاگرانژ، همیلتون، نیوتون و امی نوتر نام بردی ک همگی ریاضیدان بودند و خودشون را ریاضیدان میدونستند. حرف زیاد هست ولی کافیست. امیدوارم برات تجربه شده باشد ک یک مقاله هرچقدر هم خوب باشد، اگر در آن بی احترامی وجود داشته باشد، حتی اگر بی جواب هم بماند باز هم از ارزشش بسیار کاسته میشود. ضمنا امیدوارم انتظار نداشته باشی ک توهین کردنت، ما را ناراحت نکند. به هرحال مقاله ی خوبی بود.
سلام من از متنون جایی استفاده کردم. مرجعش را می خواستم بدونم کجاست؟
سلام از کدوم قسمتش!؟ هر جایی که نیاز به منبع بوده باشه، هایپرلینک کردم. به طور کلی در مورد این موضوع هر کتاب مکانیک کلاسیک (تحیلیلی) که نگاه کنید در موردش نوشته.
چراهمه اول ميتازن بعدش ميگن مقاله خوبي بودداداش ممنون من رياضي محض خوندم ولي عاشق فيزيكم
اگر توپی درون آب باشد و در حال رفتن به سمت پایین با حل دادن باشد به طوری که در راستای x تکانه نداشته باشد چگونه پایستگی تکانه اینجا تعریف میشه؟اینجا سیستم ما توپه و داره تکانه ش کم میشه
تکانه در صفحه عمود بر مسیر توپ پایسته است.
[…] که به صورت $F=ma$ نوشته میشه یا معادله اویلر-لاگرانژ که به صورت $frac{partial L(x,dot{x}; t)}{partial x } = frac{d}{dt}frac{partial L(x,dot{x}; t)}{partial […]
خیلی ساده و زیبا توضیح دادین تشکر از مطلب خوبتون
[…] برای دیدن چند مثال در این مورد به این نوشته نگاه کنید: تقارن،قوانین پایستگی و اِمی نٌودِر. […]
[…] صورت‌بندی‌های مکانیک کلاسیک، قسمت یک – سیتپـــــور در تقارن،قوانین پایستگی و اِمی نٌودِر […]