ولفرم و گراف اقلیدس

شاید تا به حال تجربه پیدا کردن مسیر در جنگلی تاریک را داشته باشید یا حداقل فرض کنید که در آن گیر کرده‌اید و تنها یک چراغ قوه برای پیدا کردن مسیر دارید. پیدا کردن مسیر و تلاش برای حل مسئله با پرسیدن و استدلال کردن همراه است. کجا بودیم؟ چقدر تا به حال مسیر آمده‌ایم؟ شیب زمین به کدام سمت است؟ خورشید در کدام سمت قرار دارد؟ و سعی می‌کنیم با استدلال‌های ریز و درشت به آن‌ها پاسخ دهیم.

این تلاش مشابهی است که پژوهشگران در جنگلی از اطلاعات و رخدادها به دنبال پیدا کردن پاسخ درست مسائل هستند. ریاضی‌دانان از ارتباط بین خطوط و اشکال تلاش می‌کنند تساوی دو پاره‌خط یا موازی بودن را نتیجه بگیرند. فیزیکدانان پس از مشاهده یک پدیده، با اندازه‌گیری و فرضیه سازی‌های مکرر تلاش می‌کنند آن را توصیف کنند. اما این بار استیون ولفرم فیزیکدان معاصر خلاقیت جالبی را برای حل مسائل پیشنهاد کرده‌است. او یک قدم عقب می‌ایستد و جنگل پیمایان را رصد می‌کند. برای او پدیدهٔ اصلی مورد مطالعه خود چراغ قوه به‌دستان هستند نه جنگل و درخت آن.

او با ترسیم مسیری که تا الان پیموده شده و تصویرسازی تلاش می‌کند تا تصویر بزرگتر را پیدا کند و با شناخت آن بگوید چه چیزهایی را می‌توان پیدا کرد و احتمالاً چه چیزهایی از نظر مغفول مانده‌اند. تصویر مولانا را از فیل شناسان را به خاطر بیاورید. هر یک از نظردهندگان، فیل را یک جور می‌دیدند اما حالا اگر یک نفر با در کنار هم قرار دادن این نظرات پازل را تشکیل دهد و بفهمد که آن موجود ناشناخته فیل است؛ آنگاه هم نظر بقیه را توجیه خواهد کرد و هم می‌تواند اطلاعات بیشتر و دقیق‌تری از آن پیکره روایت کند.

دیدنش با چشم چون ممکن نبود 
 اندر آن تاریکی‌اش کف می‌بسود

  آن یکی را کف به خرطوم اوفتاد 
 گفت همچون ناودان است این نهاد

  آن یکی را دست بر گوشش رسید 
 آن برو چون بادبیزن شد پدید

  آن یکی بر پشت او بنهاد دست
 گفت خود این پیل چون تختی بدست

یکی از نمونه‌های بارز تلاش او مطالعه کتاب اصول اقلیدس است. اقلیدس با مطرح کردن ۴+۱ اصل پیمایش خود را در جنگل هندسه و نظریه اعداد شروع کرد. پس از مطرح کردن این ۵ اصل متوجه شد که ترکیب این ۵ اصل می‌تواند گزاره‌های دیگری را نتیجه دهد. گزاره‌هایی که از آن‌ها به عنوان قضیه یاد می‌کنیم. استیون ولفرم در پژوهش خود فارغ از این‌که اقلیدس چه استدلال‌هایی برای گام برداشتن می‌کند؛ مسیری که او برای اثبات هر قضیه از میان قضایای پیشین پیموده رصد می‌کند. به این معنی که در بدنه اثبات هر قضیه دنبال ارجاعاتی که او در اثبات آن استفاده کرده‌است می‌گردد. مثلاً اگر در اثبات قضیه دو از قضیه یک استفاده شد با یک خط جهت دار آن دو را به هم متصل می‌کند. اگر برای کل ۴۶۵ قضیه‌ای که اقلیدس مطرح کرده‌است این روش را ادامه دهیم به گراف زیر خواهیم رسید.

اگر قضیه آخر کتاب او را در نظر بگیرید (که پر ارجاع‌ترین قضیه او هم هست) متوجه می‌شوید که برای اثبات آن باید بسیاری قضیه را اثبات کنیم. گراف زیر تمام قضایایی را که برای اثبات آن نیاز است به رنگ قرمز درآورده است. گویا برای اثبات هر قضیه نیازمند ترسیم یک گراف هستیم که با تعدادی اصول شروع می‌شود و از پس میان قضایای میانی در آخر به قضیه نهایی منجر می‌شود.

او پس از تصویر سازی‌هایی که انجام داده‌است و پیدا کردن یک الگوی کلی موفق شد که درستی گزاره‌های هندسی که حتی درون کتاب اقلیدس نیستند را نیز بررسی کند. به این ترتیب که اصول و فرض‌های اولیه هر قضیه را نقطه آغاز قرار داد و با الگویی که از کتاب اقلیدس فراگرفته بود تلاش کرد مسیر خود را تا مقصد نهایی که اثبات قضیه باشد ترسیم کند. به این ترتیب اثبات هر قضیه را به کمک یک گراف انجام داد. شما هم‌اکنون می‌تواند از ابزار ولفرم آلفا او استفاده کنید و درستی یک حکم را برای یک قضیه هندسی از او بپرسید. شکل زیر گراف محاسبه شده او از یک قضیه مثالی است.

اما امروز کمتر به مسائل هندسه دو بعدی علاقه‌مندیم. شاید تلاش تا به اینجای او برای حل مسائل هندسی خیلی قابل توجه نباشد اما او پس از موفقیت در هندسه به سراغ فیزیک و خانه اصلی خود بازگشت و چندی است که تلاش می‌کند گراف مشابهی را برای نظریات فیزیک رسم کند تا در کشف قوانین جدید از جمله بقیه فیزیکدانان سبقت بگیرد.

تا کنون او در ترسیم گرافی که بتواند برخی قوانین ساده فیزیک را نشان دهد موفق بوده‌است اما همچنان اسب او و گروهش از بقیه دانشمندان پیشی نگرفته‌است. اگر تلاش او برای شما جالب و خلاقانه آمده و می‌خواهید روی اسب او نیز شرط‌بندی کنید. توصیه می‌کنم به تارنمای پروژه فیزیک او نگاهی بیاندازید. گروه او تمام دستاوردهای خود را به صورت رایگان و لایه باز مرتباً منتشر می‌کنند.

این مطلب روایتی است از مطلب زیر:

https://writings.stephenwolfram.com/2020/09/the-empirical-metamathematics-of-euclid-and-beyond/