﷽ توی فیزیک، بسته به شرایط مسئله‌ای که مطالعه می‌کنیم، به یه سری چیزها می‌تونیم بگیم ذره. از یک نگاه، فیزیک چیزی نیست جز بررسی ذرات و میدان‌ها. کیهان‌شناس‌ها به منظومه شمسی میگن یه ذره! به عبارت دیگه در فیزیک بسته به مقیاس، وقتی میگن ذره، لزوما منظور شی کوچیکی نیست وقتی با چشم بهش نگاه می‌کنیم. فقط در حوزه «فیزیک ذرات» یا «فیزیک انرژی بالا» مردم منظورشون از ذره معمولا ذرات بنیادیه. تعریف دم‌دستی از ذره بنیادی هم یه چیزیه که ساختار ریزتری نداره؛ مثلا ما ساختار ریزتری برای الکترون نمی‌شناسیم گویا. اما در مورد نوکلئون‌ها (پروتون و نوترون)، اونا رو می‌تونیم با کوارک‌ها بسازیم. پس الکترون و کوارک ذره بنیادی حساب میشن اما پروتون نه. از طرف دیگه، منظور ما از یک «ذره کوانتومی» یا به‌طور کلی یک «پدیده کوانتومی» اینه که فیزیک کلاسیک در توصیف رفتار اون ذره یا پدیده ناکافی یا ناکارآمده و اصطلاحا باید در یک رژیم کوانتومی به دنبال توصیف مناسب بگردیم.
کهکشان‌ها به قدری بزرگ هستند که به ستاره‌ها بشود عنوان یک «ذره» را نسبت داد! این نوشته از کوانتا مگزین را بخوانید.
حالا اگه علاقه‌مند به مطالعه سیستم‌های بس‌ذره‌ای کوانتومی باشیم، یعنی بخوایم بدونیم که مجموعه‌ای از ذرات کوانتومی با یک مدل برهمکنشی خاص چه‌طوری رفتار میکنن اون موقع فیزیک آماری کلاسیکی که برای سیستم‌های بس‌ذره‌ای بلدیم باید قاعدتا به یک نسخه کوانتومی تغییر کنه. در دنیای کوانتومی، ذرات به دو گروه فرمیون‌ها و بوزون‌ها تقسیم میشن. این طبقه‌بندی در دنیای کلاسیک اصلا نیاز نیست. به خاطر این طبقه‌بندی جدید ذرات، وقتی نیاز داشته باشیم که یک سیستم کوانتومی رو به طور آماری بررسی کنیم، باید دقت کنیم که در بررسی اجزا اون سیستم با دو آمار مختلف رو به رو هستیم. یک آمار ویژه فرمیون‌ها به نام «آمار فرمی-دیراک» و یک آمار ویژه بوزون‌ها به نام «آمار بوز-اینشتین». پس منظور از «آمار کوانتومی» مجموعه‌ای از ذرات، یک بررسی فیزیک آماری کوانتومی از اون سیستمه.
یک سری چیزها مثل پروتون، نوترون و الکترون پیرو آمار فرمی-دیراک هستن. این‌ها ذراتی هستن که اسپین‌هاشون کسریه و مضرب یک‌دوم، به اینا میگیم فرمیون. اصل طرد پائولی هم فقط برای فرمیون‌ها برقراره. اصل طرد هم یک جورفاصلهگذاری اجتماعی بین ذراته! یکی از نتایج اصل طرد اینه که برای داشتن ماده (به معنی اکثر ساختارهای فیزیکی که اطرافمون هست) باید فرمیون‌ها رو کنار هم قرار بدیم و نه بوزون‌ها رو. چون اجتماع فرمیون‌ها منجر به ساختارهای گوناگونی میشه که منجر به ایجاد ماده‌های مختلفی میشن. اما اجتماع بوزون‌ها این شکلی نیست!
مثلا فوتون که کوانتا (ذره) سازنده نوره یک بوزونه و از آمار بوز-آینشتین پیروی میکنه. اسپین بوزون‌ها صحیحه و اصل طرد برشون حاکم نیست. به همین خاطر میشه تعداد زیادی فوتون رو جایی جمع کرد بدون اینکه ساختار خاصی شکل بدن. به این کار اصطلاحا میگن چگالش بوز-آینشتین. در نگاه «فیزیک ذرات» برای توصیف هر پدیده‌ای علت رو میندازن گردن یه «ذره»؛ به عنوان مثال، دو تا جسم جرم‌دار رو تصور کنید که به خاطر گرانش بهم نیرو وارد میکنن. در نگاه فیزیک کلاسیک، گرانش انگار پیوسته بین دو جسم وجود داره و سبب میشه که این دو جسم بهم نزدیک بشن. مثلا زمین همیشه داره به خورشید نزدیک میشه به خاطر جاذبه گرانشی، ولی به جای اینکه سقوط کنه روی خورشید دورش میچرخه. حالا سوال اساسی اینه که این برهمکنش چه‌طور انجام میشه؟ از نگاه فیزیک ذرات، این برهمکنش گرانشی با تبادل ذره‌ای به اسم گراویتون بین خورشید و زمین انجام میشه. هنوز از لحاظ تجربی گراویتون مشاهده نشده، اما انتظار میره در صورت مشاهده، بوزونی بی‌جرم اسپین-۲ باشه!
بوز یک فیزیکدان هندی بود. قطار سوار شدن هندی‌ها رو به عنوان چگالش بوز-آینشتین در نظر بگیرید!
خلاصه تا این اواخر ما فکر می‌کردیم که ذرات کوانتومی یا باید فرمیون باشن یا بوزون و وقتی به یک سیستم کوانتومی نگاه می‌کنیم فقط با دو جور آمار روبه‌رو هستیم.
در فیزیک یک طبقه‌بندی دیگه‌ای هم وجود داره که به بعضی چیزها به جای ذره، میگیم شبه‌ذره یا Quasi-particle. این‌ها در حقیقت موجوداتی هستن که از برانگیختگی میدان‌ها بیرون میان، مثل فنون‌ها. در فیزیک ماده‌چگال، فنون‌ها ذراتی هستن که سبب رسانش گرمایی توی فلزات میشن. این شبه‌ذرات همون چیزایی هستن که ما بهشون میگیم ذره پدیداره یا emergent particle. انگار ذره‌ای در عمل نیست توی یه تکه فلز، اما ذره‌ای خلق شده جوری که مسئولیت رسانش گرمایی رو برعهده گرفته. برای همین، غیر از ذرات کوانتومی معروفی مثل پروتون، نوترون و الکترون یک سری ذره دیگه هم وجود دارده مثل فونون و گراوتیون که ذرات کوانتومی هستن. برای همین انتظار اینه که همه این ذرات آمارهای کوانتومی داشته باشن.
پس:
بسته به مقیاس مورد مطالعه‌مون به هر چیزی می‌تونیم بگیم ذره.
اگه ذره‌ای کوانتومی حساب بشه اون موقع اجتماعی از اون ذرات باید از آمار کوانتومی پیروی کنه.
آمار کوانتومی دو نوع داشت: آمار فرمی-دیراک و آمار بوز-آینشتین
راستش همه این حرفا برای ۳-بعد بود. توی ۱۰ – ۱۲ سال گذشته مردم به صورت نظری راجع به این حرف زدن که در ۲-بعد ذرات می‌تونن آمار خیلی غنی‌تری از خودشون نشون بدن! یعنی در ۲-بعد نمیشه همه رو به دو دسته فرمیون و بوزون دسته‌بندی کرد. در ۲ بعد خیلی خبرهای بیشتری داریم. از پیشگامان این عرصه نوبلیستی بود به اسم فرانک ویلچک. (با تاماش ویچک اشتباه گرفته نشه!)
اگه مردم بتونن نتایج آزمایش بالا رو بدون کم و کاست تکرار کنن، یک اتفاق بسیار مهم تو فیزیک به حساب میاد. به‌طور خلاصه، با اینکه ذرات در ۳-بعد یا آمار فرمیونی دارن یا بوزونی اما در ۲-بعد داستان خیلی پیچیده‌تره. اگر فازی که در اثر جابه‌جایی دو تا ذره به دست میاد رو به شکل $e^{i \theta}$ در نظر بگیریم برای بوزون‌ها θ صفره و برای فرمیون‌ها π. اما در ۲-بعد θ می‌تونه هر عددی باشه! حتی بالاتر از این میشه یه فضای برداری تعریف کرد و به جای یه فاز یه ماتریس یکانی اونجا گذاشت! (این اون چیزی‌است که محاسبات کوانتومی توپولوژیک قراره ازش استفاده کنه).
پیشنهاد می‌کنم این نوشته رو بخونید و فرانک ویلچکو در توییتر دنبال کنید. ویلچک جزو فیزیکدونای بزرگیه که تلاش میکنه مردم عادی هم فیزیک رو بفهمن. مثلا در مورد شبه‌ذره‌ای مثل آنیون هم مطالب و سخنرانی‌های جالبی داره:
در همایش پیوند در تابستان گذشته در مورد این حرف زدم که چگونه ایده‌های برگرفته شده از فیزیک می‌تونن درک بهتری از شبکه‌های اجتماعی مثل فیس‌بوک به ما بدن. ویدیو این ارائه رو به همراه اسلایدها و فایل صوتی رو اینجا می‌ذاریم. ما بقیه ارائه‌ها رو هم در قسمت «سخنرانی‌ها، دوره‌های آموزشی و کلاس درس» می‌تونید پیدا کنید!
یه گذار روزمره مثل تغییر فاز آب رو در نظر بگیرید. گاز و مایع به واقع شبیه هم هستن! هر دو از نظر ما بی نظم هستن! حالا یکی یه کم بیشتر یکی یه کم کمتر. اما هیچ کدوم جامد منظم نیستن که همه سرجاشون نشسته باشن. مثال دیگه مواد مغناطیسی است. اینا توشون کلی ذره دارن که هر کدوم یک جهتی داره برای خودش- به زبان فنی اسپین. حالا دما خیلی زیاد باشه ماده‌مون که مغناطیسی نیست! یعنی مثلن آهن مذاب در دمای بالا براش سخته منظم باشه، به هم ریخته است. پس اون جهت‌ها همه تصادفی اند و بالطبع متوسط‌شون صفر و ماده مغناطیسی نیست! اما اگر دما پائین بیاد اوضاع عوض میشه، اینا می‌تونن یه جهت خاص رو بگیرن. به این میگن شکست خود به خودی تقارن!
بالاتر از دمای بحرانی (نقطه کوری)، ماده دیگر مغناطیسی نیست.
مردم با همین میخ و چکش سراغ هر تغییر فازی می‌رفتن و سربلند بیرون می‌اومدن. اما یهو آقای فون‌کیلیتزینگ یه چیز جالب دید: اگر یه مشت الکترون رو به دوبُعد محدود کنید، و بَعد میدان مغناطیسی روشن کنی (این همون روشی است که باهاش فهمیدن حامل بار، بارش منفی است) رسانندگی (همون جریان به ولتاژ با یک مشت ضریب) بهت یک سری عدد میده:۱ و۲ و۳ و … بعدتر عددهای کسری عجیب اما خاصی هم پیدا شدن. اما این طور نیست که شما بگی ۱۷.۳۰۸ بعد ما بهت بگیم آهان، میدان فلان رسانندگی اینه که تو می خوای! اعداد طبیعی یا کسری خاص! هرکی به هرکی نیست!
چند خم بسته با Winding Numberهای متفاوت.
خب مردم هی دست به دهان بودن که چه طور میشه وسط این همه خطای آزمایش و کثیفی نمونه و غیره این اعداد این قدر خاص باشن؟! چرا این همه چیز پیوسته عوض میشه اما اینا نه؟!!
خب بالطبع اول سعی کردن که همون میخ و چکش رو استفاده کنن. اما این درب بسته بود. اما جناب تاولز و همکاراش نشون دادن که میشه اون اعداد رو محاسبه کرد. اینکه اون اعداد واقعن در اون مساله که بالا گفتم (اثر کوانتومی هال ) از کجا و چطور به دست میاد، رو کاریش نداریم، اما میشه یه مثال ساده زد؛ یک خم بسته‌ی دلخواه روی صفحه بکشید. بعد ببینید این خم چند بار مبدا رو دور زده؟! فرض کنید حالا یه میله ی بزرگ دارید و این خم شما در واقع یک ریسمان است. شما اون عدد (winding number) ریسمان رو مگر با بُریدن ریسمان نمی تونید تغییر بدید.
از سوی دیگه اون عدد همیشه یک عدد طبیعی است: ۰ و ۱ و غیره. حالا در اون دنیا این ریسمان چیز عجیب غریب تری است!
ولی خب کلیت داستان همین است. یعنی یک عددی هست که اتفاقن در برخی موارد همین تعداد دور زدن‌های یک خم بسته حول مبدا است و جز با بُریدن نمیشه تغییرش داد. این بُریدن‌ها در واقع در دنیای جدید به معنای همون گذار فاز هستن، انگار که مایع می‌شد جامد! اینجا هم وقتی ریسمان مربوطه بُریده شد و دوباره بسته شد عدد می‌تونه تغییر کنه! به زبان فنی‌تر در واقع این عدد تا زمانی که سیستم گاف انرژی داشته باشه نمی‌تونه تغییر کنه، و اگر گاف بسته و دوباره باز بشه(مثلن با تغییر یک کمیت مثل میدان مغناطیسی) عدد مورد نظر ما می‌تونه عوض بشه. به خاطر این خواص خیلی سفت و سختش هست که بهش میگن توپولوژیک!پس مساله ی اول حل شد 🙂 تاولز تونست با همکاراش نشون بده که اون اعداد از کجا میان. البته بگم اعداد کسری هنوز حل نشده هستن! خب این حالتهای ماده و این تغییر اعداد، این تغییر نظم(!!!) با یک سری عدد توصیف میشه و توپولوژی!
حالا یک چییز دیگه: همون اسپین‌ها رو در نظر بگیرید. حالا فرض کنید دو بُعد داریم. میشه حالتی رو تصور کرد که همه‌ی اسپین‌هایی که دورمبدا هستن به سمت خارج هستن! عین خطوط میدان یک بار الکتریکی! اصلن همین مثال خوبه! شما می گید ئه!! همه به سمت بیرون هستن پس باید یه چیزی اونجا باشه! حالا اینجا نمی گیم بار، میگیم گردابه! و به جای مقدار بار همون winding number . آقای تاولز و کاسترلیتز نشون دادن که در دو بُعد جز اون حالت بی نظم که همه می دونستن باید اونجا باشه میشه حالاتی داشت که مثلن دو تا گردابه داشته باشه! پس دوباره سرو کله ی این اعداد طبیعی و توپولوژی و فازها پیدا شدن! این بار شما می‌تونید چند تا گردابه داشته باشید، مضاف بر اون هرگردابه یک عددبرای خودش داره که شبیه به همون بار است! این گردابه‌ها و این نوع تغییر فاز در ابرشاره‌ی هلیوم دیده شد!
اما جناب هالدین! اون گاز الکترونی و میدان مغناطیسی رو که بالا گفتم در نظر بگیرید! اونا مثلن یه ویژگی خیلی جالب که دارن این است که جریان الکتریکی از روی لبه‌ها حرکت میکنه! و خب رسانندگی ش هم اون اعداد خاص رو میده! تا مدت ها مردم فکر می کردن که خب میدان مغناطیسی قوی خیلی مهمه!اما هالدین در یکی از کارهاش یک مدل تئوری ساخت که بدون شار مغناطیسی خالص همون خواص رو داشت! این مدل دو سال پیش در آزمایشگاه realize شد! پس همه فهمیدن چیزای مهمتری تا میدان مغناطیسی هست! در واقع این بنیان کاری است که در سال ۲۰۰۶، Kane و Mele روی گرافین کردن و عایق‌های توپولوژیک رو باز کردن. این‌ها موادی هستند که علی‌رغم اینکه نارسانا هستند، یعین در حجم‌شون گاف هست و رسانش نمی‌تونیم داشته باشیم، روی مرز‌هاشون می‌تونن رسانش داشته باشن! برای همین است که میگن عایق توپولوژیک! عایق trivial میشه همون عایق معمولی، نه تو حجم و نه تو سطح رسانش نداره! اما توپولوژیک‌ها روی سطح رسانش دارن!
اما هالدین کارهایی رو هم روی مدل‌های اسپینی کرده که تاثیر گذاشت روی چیزی که الآن بهش میگن symmetry protected topological phase. هالدین مدل‌هایی رو نگاه کرد که مردم پیش از او هم بررسی کرده بودن! همه فکر می‌کردن این مدل‌های اسپینی Gapless هستن، یعنی با کمی انرژی می‌تونید توش برانگیختگی درست کنید! این در واقع برای اسپین ۱/۲ نشون داده بودن و فکر می کردن برای اسپین‌های بالاتر هم درسته! اما هالدین نشون داد که برای اسپین‌های صحیح مثل ۱ باید دقت کرد و چیزهای دیگه‌ای هم هست که باعث میشن سیستم گاف انرژی داشته باشه! این سیستم‌ها و این خواص هم توپولوژیک هستن و به این راحتی از بین نمی‌رن اما همون‌طور که از اسم‌شون برمیاد یک تقارنی رو لازم دارن، مثلن دوران! یعنی اون خواص توپولوژیک هستند مادامی که شما اون تقارن رو حفظ کنی!
گذار کاسترلیتز تاولز رو تو کتاب کاردر خوب توضیح داده. اینا هم یه سری مقاله در مورد کارهای توپولوژیک و اثر هال:
یه گذار روزمره مثل تغییر فاز آب رو در نظر بگیرید. گاز و مایع به واقع شبیه هم هستن! هر دو از نظر ما بی نظم هستن! حالا یکی یه کم بیشتر یکی یه کم کمتر. اما هیچ کدوم جامد منظم نیستن که همه سرجاشون نشسته باشن. 
