رفتن به نوشته‌ها

دسته: سخن اندیشمندان

فرکتال‌ها| قسمت دوم، ویژگی‌ها و تعاریف

منتشر شده توسط عباس ریزی در 13/07/2014

«به مفهوم فرکتال ها باید همان جوری نگریست که یک زیست شناس به مفهوم زندگی می نگرد.»

کنث فالکونر (ریاضی دان)

توی پست قبلی مقدمهٔ کوتاهی دربارهٔ فرکتال‌ها و اینکه هندسهٔ توصیف گر طبیعت یک هندسهٔ فرکتالی هست یک توضیحاتی دادم. صرف نظر از فرکتال‌های ساختگی (فرکتال‌هایی که ریاضیدان‌ها معمولاً می‌سازند مثل برف‌دانه کخ) به هر طرف که نگاه کنید می‌تونید یک فرکتال طبیعی رو مشاهده کنید. سر سفره «کلم ترشی (یا بروکلی)»، کنار ساحل «خطوط ساحلی»، «برگ درخت»، «شش‌ها (ریه)»، «رعد و برق» و … خب این فرکتال‌ها چه ویژگی دارند؟ فرکتال‌ها ۳تا ویژگی خاص دارند که بهشون اشاره می‌کنم:

۱) فرکتال ها خودمتشابه هستند!

یک گل‌کلم یا کلم بروکلی رو در نظر بگیرید؛ اگه با یک چاقوی تیز، یکی از گلچه‌های گل کلم رو ببرید و جداگانه بهش نگاه کنید؛ چیزی که به نظر می‌رسه یک گل کلم کامله، اما کوچکتر! اگه باز برش بدید، دوباره، دوباره، دوباره، …، شما گل‌کلم‌های کوچکتری بدست می آرید. به تجربه دیده شده که بعضی از اشکال این خاصیت عجیب رو دارند، یعنی هر قسمت از شکل مثل کل شکله با این تفاوت که اندازه کوچکتری داره. به این خاصیت خود متشابهی میگند. توی برف‌دانه کخ هم اگر قسمتی از شکل روجدا کنید می‌بینید که دقیقاً مثل کل شکله و این تشابه هیچ وقت قطع نمیشه و همین‌طور ادامه داره! ممکنه که شما بگید یک خط راست هم اگر تکه‌تکه بشه باز هم شکل قسمت اول رو داره پس فرکتاله! اولا اشتباه نکنید یک ویژگی شرط لازمه نه کافی! در ثانی معمولاً منظور ما از خود متشابه بودن، خود متشابه بودن در یک الگوی غیرعادی و غیربدیهیه!

کلم بروکلی، موجودی با ساختار فرکتالی
کلم بروکلی، موجودی با ساختار فرکتالی – نمونه یک موجود  خودمتشابه 🙂

 

۲) فرکتال ها دارای بعد غیرصحیح هستند!

همیشه ما با ابعاد صحیح روبه رو بودیم! مثلاً میگیم خط موجودی ۱بعدی، مربع یک شکل ۲ بعدی و مکعب یک شکل ۳بعدیه (ابعاد اقلیدوسی، همه هندسه ای که ما اول یادمی‌گیریم اقلیدوسی هست)! حتی فضا-زمان در نسبیت ۴ بعدیه و نه مثلاً ۳/۴۵ بعدی! همین‌طور نظریه‌هایی مثل ریسمان هم که فراتر از ۳ بعد رفته‌اند هنوز تعداد بعد توجیه کننده‌شون صحیحه مثلاً ۱۱ نه ۱۱/۲۴! ممکنه بپرسید این غیرصحیح بودن بعد فرکتال‌ها دیگه چه صیغه آیه! پس اجازه بدید که «بعد» رو تعریف کنیم. به این شکل نگاه کنید: dمطابق شکل، فرض کنید که از یک قطعه شکل سمت چپ میخوایم شکل بزرگتر (با بزرگنمایی ۳ برابر) رو درست کنیم؛ برای این کار به چند قطعهٔ هم اندازه با شکل سمت چپ نیاز داریم؟ برای خط معلومه، اگه همون خط قبلی سه برابر بشه (طولش) شکل جدید حاصل میشه، پس به ۳قطعه هم‌اندازه نیاز داریم. برای مربع هم مثل خط می‌مونه با این تفاوت که هم طولش ۳ برابر میشه و هم عرضش (به شکل نگاه کنید) پس ما به ۹ قطعهٔ هم‌اندازه نیاز داریم؛ و وقتی هم که مکعب میشه، بزرگنمایی هم برای طول و هم برای عرض و هم برای ارتفاع اتفاق افتاده و این دفعه به ۲۷ مکعب نیاز داریم. (به شکل نگاه کنید!) خب این عددهای به دست اومده رو دوباره نگاه کنیم.  من توی یک جدول می‌نویسمشون؛

فکر کنم رابطه ای که بین این اعداد هست رو فهمیدید: ۳ و  ۹ و ۲۷! یک رابطه که یک تصاعد هندسی هست رسما:

تعداد قطعه هم‌اندازه برای ساخت شکل جدید = بزرگنمایی به توان بعد شکل

از روی این رابطه با استفاده از لگاریتم گیری از طرفین میشه بعد را بدست اورد، یعنی «بعد» میشه:

بعد = لگاریتم تعداد قطعه هم‌اندازه برای ساخت شکل جدید تقسیم بر لگاریتم بزرگنمایی 

اگر n تعداد قطعات و m بزرگنمایی باشه:

daum_equation_1405194334641ما در حقیقت یک تعریف از بعد ارائه کردیم. بعد خودمتشابهی! خب با این تعریف بریم سراغ محاسبه‌ی ابعاد فرکتال ها؛  فرض کنید یک برف‌دانه به این شکل میسازیم که مثل شکل قبل از یک مربع با (با بزرگنمایی ۳) یک مربع بزرگتر که شامل ۹ مربع هم اندازه با مربع اولیه هست به وجود میاد.

snowحالا مربع‌های کوچیک بالایی، چپی، راستی و پایینی مربع کوچیک مرکز رو مطابق شکل حذف می‌کنیم. اگر همین روند رو ادامه بدیم یک برف دانه ساخته می‌شه! (n روی شکل منظور مرحلهٔ ساخت شکله با n تعداد قطعات کوچکتر اشتباه نگیرید!)

daum_equation_1405194713785بعد این برفدانه همین جور که می‌بینید یک عدد بین ۱ و ۲ هست! و اینجاست که دیگه بعد، یک عدد صحیح به دست نمیاد. مندلبرو اسم این بعد رو «ناهمواری» میذاشت که تعریف جالب‌تریه مخصوصاً برای اجسامی که دارای برآمدگی هم باشند! چیزی که الان مطرح میشه اینه: معنی این ۱/۴۶۴۹۷ چیه؟ ما میدونیم که یک موجود دو بعدی یعنی اینکه توی صفحه جا میشه و یک موجود یک بعدی یعنی یک خط! پس این عدد بین ۱ و ۲ یعنی چی؟! این به همون ماجرا برمیگرده که وقتی ساختن این شکل رو تا بینهایت ادامه بدیم با یک شکل پر از لبه رو به رو میشیم. در ضمن یادآوری کنم که این فقط یک عدد هست! هر چند مفهوم قشنگی پشتش هست ولی یک عدده که ناهمواری شکل رو مطرح میکنه! به هر حال کاری که ریاضیدان‌ها بکنند قرار نیست واقعاً واقعی باشه 🙂

یک نکتهٔ دیگه اینکه هیچ وقت مطرح نمی‌شه که «اندازهٔ یک فرکتال» یا «متوسط اندازه یک فرکتال» چقدره بلکه همیشه ما با همین عدد که بعد غیرصحیح یا ناهمواری فرکتال هست کار می‌کنیم! شما امروز میتونید یه عدد به عنوان ناهمواری به کامپیوتر بدید و اون در کسری از ثانیه یک شکلی با اون ناهمواری رو براتون تولید کنه یا یک شکل دلخواه رو با اون ناهمواری بازتولید کنه! به همین سادگی! تقریباً هندسه فرکتالی پیشرفت زیادی کرد چون سر و کله کامپیوتر پیدا شد. در مورد این توی قسمت آخر بیشتر توضیح میدم!

خب بریم سراغ یه مثال دیگه؛ مثلث سیرپینسکی فرض کنید یک مثلث (متساوی الاضلاع برای قشنگی بیشتر!) داریم. وسط هر ضلعش رو مشخص میکنیم و بهم وصلشون میکنیم تا ۴ تا مثلث جدیدتر ساخته بشه. مثلث وسط رو دور می‌ریزیم. این کارو تا ابد انجام میدم. الان ما یک فرکتال داریم که بعدش ۱/۵۸ هست:
daum_equation_1405196329871این عدد بیشتر از عدد قبل هست، فکر کنم شکل خودش نشون میده که ناهمواری مثلث سیرپینسکی از برف دانه ای که ساختیم بیشتره!

شیوه ایجاد مثلث سیرپینسکی
شیوه ایجاد مثلث سیرپینسکی

 

۳) بعد خود متشابهی فرکتال‌ها از بعد توپولوژیک اونها بیشتره!

این که بعد توپولوژیک دقیقا چیه، چیزیه که از حوصله‌ی این پست خارجه! شاید جداگونه در موردش بنویسم ولی فعلا به عنوان آشنایی، همین جوری که ما بعد خود متشابهی رو به صورت تقسیم دوتا لگاریتم تعریف کردیم میشه یه جور دیگه با ادبیات و شاید بهتره بگم ریاضیات مناسب‌تری بعد رو تعریف کرد و اون موقع یک سری عدد جدید به دست میاریم. این اعداد در مورد فرکتال‌ها جوریه که با مقدار خودمتشابهی شون فرق دارند و کمتر از اونها هستند مثلا بعد توپولوژیکی مثلث سیرپینسکی ۱ و بعد خودمتشابهیش (همین جوری که حساب کردیم) ۱/۵۸۵ هست که ۱/۵۸۵ > ۱!

خب جمع بندی کنیم؛ فرکتال ها دارای سه ویژيگی: ۱) خودمتشابهی ۲) دارای بعدخودمتشابهی غیرصحیح و ۳) بعدتوپولوژیکی کمتر از بعد خودمتشابهی هستند! پیشنهاد میکنم ویدیو زیر رو حتما ببینید؛ سخنرانی مندلبرو (پدر هندسه فرکتالی) در تد هست. درست چندماه بعد از این سخنرانی، مندلبرو، پیرمرد مهربان دنیای فرکتال ها به خاطر سرطان لوزالمعده ای که داشت از دنیا رفت. روحش قرین آرامش باد!

فرکتال‌ها| قسمت اول، مقدمه

منتشر شده توسط عباس ریزی در 08/07/2014

قصد دارم تا توی ۵ تا پست در مورد فرکتال‌ها (برخال ها – fractals) بنویسم. این پست رو اختصاص میدم به یک مقدمه و معرفی در مورد این موضوع:

همه ی ما با شکل هایی مثل دایره، مثلث، مربع، خط راست، چندضلعی ها و … آشنا هستیم، اشکال اقلدیسی که ساده ترین هندسه موجود (هندسه اقلدیسی) رو میسازند و ما به کمک اونها میتونیم یک تقسیم بندی برای اشکال محیط دور و برمون داشته باشیم. ولی حقیقت اینه که طبیعتی که ما اون رو توصیف میکنیم اصلا شکل اقلیدوسی نداره! به عبارت دیگه شکل هایی که توی دنیای واقعی هستند اقلیدوسی نیستند! به قول بنوآ مندلبرو، پدر هندسه فرکتالی:

«ابرها کره نیستند، کوها ها مخروط نیستند،‌ خطوط ساحلی دایره نیستند، پوست درخت صاف نیست و همین طور نور روی خط راست حرکت نمی کند!»

در حقیقت هندسه ای که دنیای اطراف ما رو توصیف میکنه یک هندسه پیچیده تری هست به نام هندسه برخالی یا هندسه فرکتالی. اجازه بدید موضوع رو با یک مسئله اندازه گیری ادامه بدم؛ فرض کنید به عنوان یک گردشگر وارد اصفهان -نصف جهان – شدید و میخواهید که فاصله ی بین پل خواجو تا سی و سه پل رو کنار زاینده رود قدم بزنید. از یکی از بومی های اونجا می پرسید که فاصله ی این پل تا اون پل چقدره و احتمالا جوابی حول و حوش ۲ کیلومتر میشنوید که برای یه قدم زدن، مناسب به نظر میرسه. خب این ۲ کیلومتری که جواب شماست چه جوری اندازه گیری شده؟ قریب به یقین مثل اندازه گیری فاصله دوتا شهر بوده. ولی اگه شما بخواهید دقیق این فاصله رو اندازه گیری کنید، یعنی از روی خطوط ساحلی این کارو انجام بدین بسته به این که واحد اندازه گیریتون چی باشه (چه اندازه ای باشه) جواب های مختلفی به دست میارید. فرض کنید با چند تا خط کش با طول های ۱۰۰، ۵۰ و ۱۰ سانتی متری این کارو میخواهید انجام بدین. چون خطوط ساحلی خم های کج و معوجی هستند، هر چقدر خط کش شما کوچیک تر باشه، خط کش شما نزدیک تر به شکستگی ها میشه و شما دقیق تر اندازه گیری میکنید. نکته اینجاست که با کوچیک و کوچیک تر شدن خط کش (واحد اندازه گیری) عدد به دست اومده بزرگ و بزرگتر میشه. بنابراین دقیق ترین اندازه گیری وقتی هست که طول خط کش به صفر میل کنه و مجموع واحدهای اندازه گیری شما (که حالا تبدیل به نقطه شدند) کاملا بر خطوط ساحلی منطبق بشه. ولی خب یه مشکلی هست و اون اینه که در این صورت عدد شما به بینهایت میل میکنه که خوشایند نیست! یعنی شما باید یک مسیر بینهایت طولانی رو قدم بزنید! نه نگران نباشید، چیزی که شما می پیمایید اون خطوط ساحلی نیست! شما موقع قدم زدن یک سری خط راست بهم پیوسته رو می پیمایید که همون ۲ کیلومتر میشه (خدا رو شکر کنید که دقیقا از روی خطوط ساحلی نمیتونید حرکت کنید . و گرنه هیچ وقت نمی رسیدین!) خب شاید این یکمی برای شما عجیب باشه که در یه جای محدود یه خم با طول بینهایت پیدا شده. خب راستش این مفهوم عجیب،‌ مفهوم هندسه فرکتال ها رو داره میگه!

برای روشن شدن قضیه بذارید یه مثال با شهود ریاضی بیشتری بزنم؛

برف دانه کخ
برف دانه کخ

برفدانه ی کخ! یک مثلث (برای راحتی فعلا متساوی الاضلاع) به ضلع یک رو در نظر بگیرید. خب محیط این مثلث (جمع جبری اندازه ی اضلاع) هست ۳ و مساحت این مثلث طبق رابطه ای که برای مثلث های متساوی الاضلاع وجود داره هست رادیکال ۳ تقسیم بر ۴ ضرب در مربع طول یکی از اضلاع. حالا اگر ما توی هر مرحله این بلا

رو سر مثلث بیاریم که هر ضلعش رو مطابق شکل به سه قسمت تقسیم کنیم، قسمت وسطش رو دور بریزیم و دو قسمت هم طول با اون رو بالا بیاریم

اون موقع محاسبات پایین نشون میده (امیدوارم واضح باشه)‌ که بعد از n مرحله محیط و مساحت به چه عددی میل میکنه:

برای محیط:

محیط برای مساحت:

مساحت

این نشون میده که این شکل که از ابتدایی ترین فرکتال ها هست دارای مساحت محدود ولی محیط نامحدود (بی نهایت) هست. که همون ماجرای اندازه گیری طول خطوط ساحلی از پل خواجو تا سی و سه پل هست.  فکر کنم برای مقدمه کافی باشه!

تجربه ی مطالعه کتاب «شش قطعه آسان»

منتشر شده توسط عباس ریزی در 01/07/2014

قبلا کتاب «شش قطعه آسان» رو معرفی کرده بودم! الان تجربه ی خوندن این کتاب رو میخوام بگم:

 خیلی از آدمها دل خوشی از ریاضیات ندارند. مثلا شخصا با آدمهای زیادی رو به رو شدم که میگند: «ما از فیزیک خیلی خوشمون میاد ولی به خاطر ریاضیاتش ازش فاصله میگیریم!» اینکه فیزیک، دستش توی دست ریاضیات بوده و هست رو نمیشه انکار کرد ولی خیلی از او اوقات میشه خیلی از مفایهم  فیزیکی رو بدون استفاده از ریاضیات،‌ مخصوصا ریاضیات پیچیده مطرح کرد. یکی از کسانی که همیشه به بهترین شکل ممکن این کارو انجام داده، ریچارد فاینمن هست! ریچاردفاینمن معروفه به بهترین معلم فیزیک. کسی که مفاهیم رو برای شما به بهترین شکل ممکن توضیح میده 🙂
به قول ویکی پدیا،  شاید قابل دسترس‌ترین کار فنی‌ فاینمن برای هر علاقه‌مندی به فیزیک، «درسگفتار های فیزیک» اون هست. درسگفتارهای فاینمن توی ۳ جلد سالهاست که چاپ میشه و میشه بگی کامل ترین و جذاب ترین دوره ی فیزیک حساب میشه.

شش قسمت از این درسگفتارها جدا شده و تحت عنوان کتاب «شش قطعه ی آسان،‌مبانی فیزیک به روایت ریچارد فاینمن» چاپ شده. توی این کتاب خبری از ریاضیات نیست و سراسر کتاب حرفهای جالب و مهیج در مورد پدیده های فیزیکیه. کتاب به خوبی به فارسی ترجمه شده و خوندنش واقعا لذت بخشه.17p0s2ledwrvyjpg
در فصل اول کتاب، در مورد اتم ها صحبت شده و اینکه به کمک این ذرات چه جوری میشه دنیا رو توصیف کرد! توی فصل بعد فاینمن در مورد اصول فیزیک حرف میزنه و یک مروری بر روی فیزیک از قبل ترها تا به امروز میکنه. توی فصل سوم فاینمن در مورد رابطه ی فیزیک با بقیه علوم حرف میزنه، رابطه فیزیک با: شیمی، زیست شناسی، نجوم، زمین شناسی، روان شناسی و … حرف میزنه! این قسمت کتاب فوق العاده ست! چند قطعه از این قسمت رو بخونید:

«یکی از مهمترین موفقیت های نجوم کشف سرچشمه ی انرژی ستاره ها بوده است، یعنی همان منبعی که دوام سوختنشان را تضمین میکند. یکی از کسانی که این را کشف کرد، شب بعدش که فهمیده بود درخشش ستاره ها باید به خاطر وقوع واکنش های هسته ای در آنها باشد، با همسرش به گردش رفته بود. زن میگوید: «می بینی ستاره ها چقدر قشنگ می درخسند؟» و مرد میگوید: «بله، و درست همین الان من در دنیا تنها کسی هستم که میداند چرا میدرخشند.» زن فقط میخندد! لابد اینکه شوهرش در آن لحظه تنها کسی است که علت درخشش ستاره ها را میداند برایش زیاد اهمیتی نداشته است. خب، غم انگیز است که آدم تنها بماند، ولی چه می شود کرد که دنیا معمولا همین طوری است!»

«شاعران گفته‌اند که علم، زیبایی ستارگان را ضایع می‌کند. چون‌که آنها را صرفاً کره‌هایی از اتم‌ها و مولکول‌های گاز می‌داند. اما من هم می‌توانم ستاره‌ها را در آسمان شب کویر ببینم و شکوه و زیبایی‌شان را حس کنم. می‌توانم این چرخ‌ و فلک را با چشم بزرگ تلکسوپ پالومار تماشا کنم و ببینم که ستاره‌ها دارند از همدیگر، از نقطه‌ی آغازی که شاید زمانی سرچشمه‌ی همگی‌اشان بوده است، دور می‌شوند.گمان نمی‌کنم جستجو برای فهمیدن این چیزها، لطمه‌ای به رمز و راز زیبایی این چرخ و فلک بزند. راستی شاعران امروزی چرا حرفی از این چیزها نمی‌زنند؟ چه‌ جور مردمانی هستند این شاعران که اگر ژوپیتر خدایی در هیئت انسان باشد، چه شعرها برایش که نمی‌سرایند، اما اگر در قالب کره‌ی عظیم چرخانی از متان و آمونیاک باشد، سکوت اختیار می‌کنند؟»

«یک شاعری گفته است: «عالم همه نهفته در جام باده ای است.» احتمالا هیچ وقت نخواهیم فهمید که این حرف را به چه منظور زده است، چون شاعران معمولا منظورشان این نیست که مردم از گفته هایشان سر در بیاورند. اما این درست است که اگر به جام شرابی خیلی از نزدیک نگاه کنیم، همه عالم را در آن می بینیم،. آنجا پر از پدیده های فیزیکی است: مایع پر پیچ و تابی که دارد به مقتضای نوع مایع و دمای هوا کم کم تبخیر می شود؛ بازتاب های نور در جام؛ و اتم هایی که به کمک تخیلمان می توانیم وجودشان را حس کنیم. شیشه خود جام در واقع نوعی عصاره ی سنگ های زمین است و در ترکیب آن می توانیم به رازهای عمر و قدمت عالم، و حتی تکامل ستاره ها پی ببریم. چه ملغمه ی عجیب و غریبی از مواد شیمیایی که در شراب نیست؟ شراب چه طور شراب شده است؟ مخمر، آنزیم، دُرد و محصولات آنها. از همین شراب می شود یک چیز بسیار کلی استباط کرد: کل حیات «تخمیر» است. درک شیمیایی شراب بدون آگاهی از کشف لویی پاستور -همان کشفِ موجوداتِ عامل اغلب بیماری ها – ممکن نیست. چه سرزنده و جوشان است این شراب، که موجودیتش را چنین به آگاهی نظاره گرش اعلام میکند! اگر مغز کوچولوی ما،‌محض راحتی خودش، این جام شراب را، این عالم را به بخش هایی تقسیم میکند – به فیزیک، زیست شناسی، زمین شناسی، اخترشناسی، روان شناسی و غیره – یادتان باشد که طبیعت خودش از آن خبر ندارد! پس بیایید قطعه ها را دوباره به هم وصل کنیم، تا فراموشمان نشود که در اصل چه چیزی و برای چه کاری بوده است. بگذارید یک کیف آخر هم به ما بدهد: چه طور است جام باده را سربکشیم و فعلا بی خیال!»

در فصل ۴ کتاب، پایستگی انرژی به زیبایی مطرح شده. بیان فاینمن فوق العاده است و به خاطر مثال های ساده ای که میزنه همه نوع خواننده ای رو پای کتاب نگه میداره! قسمت بعد کتاب که به نظر من بهترین فصلشه، نظریه ی گرانش هست. حرکت سیاره ها،

cropped-cosmos03_roce_galaxias.jpg

قوانین کپلر، قانون گرانش نیوتون، گرانش جهانی و قدری هم نسبیت به بهترین شکل ممکن توضیح داده شده! خبری از ریاضیات پیچیده نیست ولی فاینمن کاملا با مهارت خارق العاده ای این مباحث رو گفته! من که لذت بردم! فصل آخر  کتاب هم در مورد کوانتوم هست. شاید این قسمت کمی سخت تر از بقیه به نظر برسه، مخصوصا اگه سرو کار زیادی با کوانتوم قبلا نداشته اید، به هرحال کوانتومه دیگه! ولی باز هم  شیوه ی بیان کوانتوم توی این کتاب از بهترین هاست.

در کل این کتاب بسیار هیجان انگیز و پرفایده ست. چه شما دانشجوی فیزیک باشید، چه یک فردی که فقط دوست داره ببینه دنیا چه جوری کار میکنه، پیشنهاد میکنم این کتاب کمتر از ۲۰۰ صفحه ای رو حتما بخونید!

امیدوارم ما بقی آثار فاینمن رو بخونم و تجربه مطالعه ی اونا رو هم بگم! یا شاید هم شما بخونید و بگید 🙂

Feymanlibrary

تمدن بشری

منتشر شده توسط عباس ریزی در 18/02/2014

«هنگامی که کودکان به دانشمندان بزرگ چنان بنگرند که به موسیقیدانان و هنرپیشه های بزرگ مینگرند، آن‌گاه تمدن بشری به سطح بعدی میجهد.»
برین گرین

“When kids look up to great scientists the way they do to great musicians and actors, civilization will jump to the next level”
― Brian Greene

bgبرایان گرین (به انگلیسی: Brian Greene) (زاده در ۹ فوریه ۱۹۶۳، نیویورک) فیزیکدان آمریکایی و یکی از نظریه‌پردازان نظریه ریسمان است. او از سال ۱۹۹۶ در دانشگاه کلمبیا به تدریس می‌پردازد. وی در ۱۲ سالگی آن چنان در ریاضی توانایی پیدا کرد که یک استاد دانشگاه به او خصوصی درس می‌داد. گرین در سال ۱۹۸۰ وارد دانشگاه هاروارد شد و لیسانس فیزیک گرفت. در سال ۱۹۹۶ دکترای خود را با بورس رودز در دانشگاه آکسفورد گرفت. گرین از سال ۱۹۹۶ تا کنون در دانشگاه کلمبیا به سر می‌برد. و به آموزش و پژوهش در کیهان‌شناسی و نظریه ریسمان می‌پردازد. پیش از این او در سال ۱۹۹۰ به دانشکدهٔ فیزیک دانشگاه کرنل پیوسته بود. وی استا دی خود را در سال ۱۹۹۵ در این دانشگاه گرفته است. گرین کتاب جهان زیبا را در سال ۱۹۹۹ نوشت که بسیار پرفروش بود و جایزه‌های جهانی بسیاری را از آن خود کرد. این کتاب به نظریه ریسمان و اِم می‌پردازد. پس از آن یک فیلم ۳ ساعتهٔ عامه‌فهم در شبکهٔ پی‌بی‌اس که بر پایهٔ کتاب جهان زیبا ساخته شده بود موفقیت او را دوچندان کرد. کتاب جدید او ساخت کیهان نام دارد که در سال ۲۰۰۴ منتشر شد و در آن از زمان و جهان سخن می‌رود.

{ویکی پدیا فارسی}

آزمایش عجیب گاوس

منتشر شده توسط امید در 07/08/2013

در مورد تلاش شما، چیزی (یا چیز زیادی) برای گفتن ندارم، جز این که ناقص است. اثباتی که برای این که مجموع زوایای یک مثلث نمی‌تواند بیشتر از ۱۸۰ درجه باشد ارائه کرده اید، تا حدی فاقد دقت هندسی است. اما به سادگی می‌توان آن را اصلاح کرد، و در این که می‌توان این غیرممکن بودن را در کمال دقت ثابت کرد شکی نیست. اما در مورد قسمت دوم، که مجموع زوایای یک مثلث نمی‌تواند کم‌تر از ۱۸۰ درجه باشد، وضع متفاوت است، این نقطه‌ی حساسی‌است که کشتی‌ها را در هم می‌شکند. به نظر نمی‌رسد که این قسمت شما را زیاد درگیر کرده باشد. من بیشتر از ۳۰ سال روی این موضوع کار کرده‌ام، و بعید می‌دانم کسی بیشتر از من روی این موضوع کار کرده باشد، هر چند تا کنون چیزی در این مورد به چاپ نرسانده‌ام.

این فرض که مجموع زوایای مثلث می‌تواند کم‌تر از ۱۸۰ درجه باشد، به هندسه‌ی عجیبی می‌انجامد، که با هندسه‌ی ما (هندسه‌ی اقلیدسی) بسیار متفاوت، اما به همان اندازه سازگار است. من آن را بسط داده‌ام و کاملا از آن راضی هستم، و می‌توانم هر مسئله‌ای را در آن حل کنم، جز یافتن یک ثابت، که نمی‌توان آن را پیش از تجربه (as a priori) تعیین کرد. هر چقدر این مقدار ثابت بزرگ‌تر باشد، این هندسه به هندسه‌ی اقلیدسی نزدیک‌تر می‌شود.

Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss

این بخشی از نامه‌ی گاوس، شاهزاده‌ی ریاضیات، به تارینوس، در مورد اثبات اصل توازی بود. و احتمالا دقت کردید، که کل چیزی که گاوس مدعی اثباتش هست، اینه که مجموع زوایای یک مثلث، بیشتر از ۱۸۰ درجه نیست. و اگر راستش رو بخواید، اگر اصل توازی رو نپذیریم، چیزی بیشتر از این نمی‌تونیم ثابت کنیم.

مقدمه‌ی اول، اصل توازی، و چند گزاره‌ی هم‌ارز

نمی‌خوام خیلی هندسه بگم، اما دونستن این خوبه که جمله‌های زیر هم‌ارز هستن، یعنی هر کدوم رو رد کنید، همه رد شدند، و هر کدوم رو که قبول کنید، همه معتبر هستند(البته با قبول همه‌ی بنداشت‌های هیلبرت، غیر از اصل توازی):

  • مثلثی با مجموع زوایای ۱۸۰ درجه وجود دارد.
  • مجموع زوایای هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه است.
  • مجموع زوایای همه‌ی مثلث‌ها برابر است.
  • برای مساحت مثلث‌ها هیچ کران بالایی وجود ندارد.
  • از نقطه‌ی p خارج از خط l تنها یک خط موازی l وجود دارد.

با توجه به هم‌ارزی این گزاره‌ها، و گزاره‌های دوم و چهارم پنجم، می‌بینیم که اگر بتونیم مثلثی پیدا کنیم که مجموع زوایاش کم‌تر از ۱۸۰ درجه باشه، اصل توازی رد می‌شه.

مقدمه‌ی دوم، فلسفه‌ی هندسه

گاهی بحث می‌شه که هندسه‌ی فضایی که ما توش زندگی می‌کنیم چیه؟ خب این سوال یعنی چی؟ توی هندسه، وقتی می‌گیم «خط»، مسلما منظورمون خطی که روی کاغذ می‌کشیم نیست. جالبه که حتی منظورمون خط‌هایی که بی‌نهایت ادامه دارن هم نیست. نکتش اینه:«وقتی می‌گیم خط، اصلا منظورمون هیچ چیز نیست!». توی هندسه، ما دو موجود تعریف نشده داریم، «نقطه» و «خط»، و همچنین ۳ رابطه‌ی تعریف‌نشده، «قرار دارد بر» (نسبتی میان نقطه و خط)، «میان» (نسبتی بین ۳ نقطه که روی یک خط قرار دارند)، و «قابلیت انطباق» (نسبتی بین ۲ پاره‌خط).

حالا وقتی من می‌گم دستگاه مختصات دکارتی یک مدل برای هندسه‌ی اقلیدسیه، منظورم اینه که، به «زوج‌های مرتب» می‌گم «نقطه»، به «مجموعه‌ی نقاطی که توی فلان معادله‌ها صدق کنند» می‌گم «خط»، اگر یک نقطه(زوج مرتب) عضو یک خط(به عنوان یک مجموعه) باشه می‌گم «این نقطه روی اون خط قرار داره» و …، و با این تعاریف، این موجودات توی بنداشت‌هایی که قبول کردم صدق می‌کنند.

برای بررسی هندسه‌ی دنیای فیزیکی اطرافمون هم باید همچین کاری بکنیم. خب، سوال اینه:«به چی بگیم خط؟». 🙂 سال‌هاست یه پیشنهاد معقول وجود داره، مسیر حرکت نور. راحت و خوب. 🙂

اصل داستان

«یه روزی، گاوس، با نور یک مثلث روی قله‌ی ۳ تا کوه تشکیل می‌ده، و مجموع زوایاشون رو اندازه می‌گیره، شاید بتونه ببینه که واقعا از ۱۸۰ درجه کمتر هستند.»

امیدوارم به اندازه‌ی من، وقتی که این رو خوندم، تعجب کرده باشید. 🙂

اون ۳ تا کوه اسم‌هاشون Brocken و Hohenhagen و Inselbergه. اگر می‌خواید در مورد این آزمایش بیشتر بخونید اینجا و اینجا رو ببینید. البته مقداری که گاوس به دست آورد از ۱۸۰ درجه کم‌تر بود، اما افسوس، که مقدار کسری از دقت ابزار گاوس کم‌تر بود. اگر واقعا همچین چیزی پیدا می‌شد، می‌تونستیم واحد قراردادی طول، «متر» رو، با یک واحد واقعی جایگزین کنیم. 🙂 (بعدا در مورد این هم می‌نویسم.) بعد‌ها آزمایش‌های نجومی هم داشتیم، اما هنوز چیزی پیدا نشده.

باز هم بعد‌تر، اگر تئوری گرانشی اینشتین رو قبول کنیم، مشخص شد که هندسه‌ی دنیای ما چیزی پیچیده‌تر از هندسه‌های اقلیدسی و هذلولویه، که توسط گودل و افراد دیگه بسط داده شده.

اما چیزی که مهمه اینه که ما بعد از ۲۰۰۰ سال تلاش، فهمیدیم که می‌شه هندسه‌ای غیر از هندسه‌ی اقلیدسی تصور کرد، بدون این که به تناقضی برسیم.

پست رو با یک جمله منصوب به اینشتین تموم می‌کنم:

If the facts don’t fit the theory, change the facts.