به دعوت بچه‌های انجمن علمی فیزیک دانشگاه تهران در مورد شبکه‌های پیچیده حرف زدم. ویدیو جلسات ضبط شده. در ادامه اسلایدها رو گذاشتم.
قسمت اول: پیچیدگی و تحول انگاره
در این قسمت ابتدا به سراغ انگاره پیچیدگی می‌رویم و پیرامون تحول انگاره در فیزیک در دهه‌های گذشته صحبت میکنیم. نشان می‌دهیم که فیزیک آماری در گذار از ریزمقیاس به بزرگ‌مقیاس با چه چالش‌هایی روبه‌رو بوده. سپس به دنبال توجیه رفتارهای جمعی در سیستم‌های فیزیکی و زیستی به اهمیت برهمکنش‌های نابدیهی و شبکه‌های پیچیده می‌رسیم.
در ادامه قسمت قبل، به دنبال توجیه رفتارهای جمعی در سیستم‌های فیزیکی و زیستی به اهمیت برهمکنش‌های نابدیهی و شبکه‌های پیچیده می‌رسیم و به ویژگی‌‌های این شبکه‌ها و پدیده‌های دینامیکی روی آن‌ها می‌پردازیم. سرانجام در مورد مدل‌سازی‌های انتشار ویروس کرونا صحبت خواهیم کرد!
تصمیم گرفتم تا جایی که می‌توانم، مسیر یادگیری سیستم‌های پیچیده را برای علاقمندانی که جرات یادگرفتن و شهامت حرکت کردن بیرون از مرزهای تعریف شده علوم را دارند را هموار کنم. برای شروع قصد دارم چند جلسه کلاس/سمینار در دانشگاه شهید بهشتی (تهران) برگزار کنم. ایده اصلی این جلسات لکچرهایی پیرامون مفاهیم اصلی سیستم‌های پیچیده است بیآنکه وارد جزئیات ریز آن شوم. می‌خواهم طی این جلسات افراد با پیش‌زمینه‌های مختلف با ایده‌های اصلی آشنا شوند.
فیزیک نیوتون و موضوعات مربوط به حساب دیفرانسیل و انتگرال که غالب تفکر علمی سه سده گذشته را تشکیل داده‌اند بر این ایده استوار هستند که هر چه مقیاس فضایی یا زمانی یک سیستم فیزیکی را ریزتر و ریزتر کنیم، با سیستمی ساده‌تر، هموارتر و با جزئیات کمتری روبه‌رو می‌شویم. ملاحظات دقیق‌تری نشان می‌دهد که ساختار ریزمقیاس سیارات، مواد و اتم‌ها بدون جزئیات نیست. با این وجود، برای بسیاری از مسائل، چنین جزئیاتی در مقیاس‌های بزرگتر نامرتبط به حساب می‌آیند. از آن‌جا که این جزئیات مهم نیستند، فرموله کردن نظریه‌ها به شیوه‌ای که اصلا جزئیاتی وجود نداشته باشد منجر به همان نتایجی می‌شود که با در نظر گرفتن توصیف دقیقی از سیستم می‌توان به آن‌ها رسید.
برف دانه کخ – یک فرکتال کاملا خودمتشابه. نگاره از ویکی‌پدیا
می‌دانیم در رویارویی با سیستم‌های پیچیده، هموار کردن پی‌در‌پی سیستم در مقیاس‌های ریزتر معمولا نقطه شروع مناسبی برای مطالعه سیستم به طور ریاضیاتی نیست. درک این موضوع، تغییر چشم‌گیری را در بنیادهای فکری ما به همراه داشته است.
در این سخنرانی ابتدا فرکتال‌ها، به عنوان موجوداتی که در مقیاس ریزتر جزئیاتشان را از دست نمی‌دهند را معرفی میکنیم. سپس بیآنکه سراغ جعبه ابزار نظریه میدان‌های کوانتومی رویم، ایده بازبهنجارش را به عنوان چارچوب جامع‌تری برای مطالعه رفتار سیستم‌ها در مقیاس‌های مختلف و چگونگی ارتباط این رفتارها مطرح میکنیم.
خیلی وقته که از من پرسیده میشه که اگر بخوایم یادگیری سیستم‌های پیچیده رو شروع کنیم باید چیکار کنیم؟! آیا میشه بیرون از دانشگاه این کار رو انجام داد؟ یا اگر من رشته‌م مثلا کیهان‌شناسی، آمار یا ریاضی هست برام مقدوره که یادبگیرم؟ خب جواب اینه: چرا که نه! اما اینکه یک راه خیلی خاص وجود داشته باشه، راستش وجود نداره. در حقیقت آدم‌های مختلفی به این سوال طی سال‌های گذشته جواب‌های متنوعی دادن؛ مثلا مارک نیومن یک‌بار در مورد موضوعات مطرح و منابع موجود در Complex Systems: A Survey نوشته. با این حال سعی میکنم طرحی برای شروع یادگیری سیستم‌های پیچیده در ادامه ترسیم کنم. از هرگونه نظر، انتقاد یا پیشنهاد از صمیم قلب استقبال میکنم، به‌ویژه از طرف متخصصان. راستی قبل‌تر نوشته‌ای با عنوان «چگونه یک فیزیک‌دان نظری خوب شویم؟» از خِراردوس توفت، نوبلیست، ترجمه کرده بودم.
پیش‌فرض این نوشته اینه که خواننده به حساب دیفرانسیل و انتگرال، معادلات دیفرانسیل و فیزیک پایه مسلط هست و علاقه شدیدی به ورود به حوزه بین‌رشته‌ای داره! اصلی‌ترین پیش‌نیاز برای یادگیری سیستم‌های پیچیده شهامت و حوصله کافی برای ورود به دنیایی تازه و هیجان‌انگیزه! اگر به دنبال کتابی هستین که حس کلی از «سیستم‌های پیچیده» به شما بده نگاه کنید به کتاب «سیری در نظریه پیچیدگی» نوشته ملانی میچل با ترجمه رضا امیر رحیمی. همین‌طور کورس مقدماتی در Complexity Explorer وجود داره برای این که یک آشنایی کلی از سیستم‌های پیچیده پیدا کنید.
لیستی که در ادامه اومده، بسته به هر موضوع، از ابتدایی به پیشرفته مرتب شده و تقریبا سعی کردم ترتیب معنی‌داری برقرار کنم. به این معنی که شما میتونید به‌ترتیب موضوعات مطرح شده یادگیری اونها رو شروع کنید و بسته به زمانی که دارین توی هر کدوم عمیق و عمیق‌تر بشین!
۱) جبر خطی و ماتریس‌ها
برای شروع نیاز به مفاهیم و تکنیک‌های جبرخطی دارین. باید بتونید با ماتریس‌ها خوب کار کنید.
Self-contained, precise. Numerous examples and exercises make it a valuable teaching book Builds a bridge between physics of glasses and computer science problems
به طور کلی، دوره‌های آموزشی Complexity Explorer رو دنبال کنید. موسسه سن‌تافه (سانتافه!) یک کورس مقدماتی روی پیچیدگی داره. همین‌طور پیشنهاد میکنم عضو کانال Complex Systems Studies در تلگرام بشین. فراموش نکنید که اینترنت پره از منابع خوب برای یادگیری ولی چیزی که کمه، همت! در آخر دیدن این ویدیو رو با زیرنویس فارسی پیشنهاد میکنم:
این هفته، در مورد هندسه فرکتالی یک سخنرانی در دانشگاه شهید بهشتی داشتم با موضوع «مقدمه‌ای بر هندسه فرکتالی» میتونید ویدیوی این سخنرانی رو ببینید. همین‌طور اسلایدها و فایل صوتی:
یلدا به زودی فرامیرسه و بعد از اون زمستون شروع میشه. خوبه که ما گیک‌های علوم‌پایه هم به مناسبت اومدن زمستون یه حرکت باحالی بزنیم و چه حرکتی باحال‌تر از درست کردن برف‌دانه‌ی سه فیزیک‌دان و نوبلیست دوست‌داشتنی:آلبرت آینشتین، ماری کوری و اروین شرودینگر.
(منظور از برفدانه یه چیزی شبیه برفدانه کخ هست که برفدانه کخ هم یک موجود ریاضی شبیه برفه دیگه! نگاه کنید بهمقدمهی پست فرکتال‌ها)
«مجله تقارن – symmetry magazine» به افتخار این سه دانشمند بزرگ (که دنیا رو جای بهتری برای زندگی کردند) کارجالبی کرده و طرح‌واره یا الگوهایی رو برای دانلود گذاشته که بعد از چاپشون با یک سری تا زدن و قیچی کردن – البته با دقت و حوصله کافی! – بتونید برف‌دانه‌های این سه نفر رو بسازید و احتمالا به درخت کریسمستون آویزون کنید یا اینکه مثل من بذاریدش لای دفترتون و هر کسی رو که دیدید با کلی آب‌وتاب براش تعریف کنید که این چیه و چه جوری درست میشه 🙂
شاید اون رابطه‌ی هم‌ارزی ماده‌و انرژی معروف‌تر از چهره آینشتین باشه ولی ما دوست داریم که از چهره‌ی آلبرت استفاده کنیم! به یاد بیاریم کهنسبیت عام، نسبیت خاص، اثر فوتوالکتریک و حرکت براونیحداقل چیزهایی هست که آینشتین برای ما به ارمغان اورده!
تصویر ماری کوری همراه علامت خطر «پرتوزایی» به خاطر فعالیت زیادش روی این پدیده عجین شده! پس توی طرحوارهی ماری کوری هم باید این علامت پیدا بشه! به یاد بیاریم که ماری کوری اولین خانم برنده‌ی جایزه‌ی نوبل در فیزیک هست. ایشون علی‌رغم زندگی مشقت باری که داشته تنها کسی هست که علاوه‌بر نوبل فیزیک(۱۹۰۳) برنده‌ی نوبل شیمی(۱۹۱۱) هم شده! واپاشی هسته‌ای، پولونیم (عنصر) و رادیم (عنصر) حداقل چیزهایی هست که این خانم برای ما به جا گذاشته!
اروین شرودینگره و گربه‌ی معروفش! نگاه کنید به پست«ماجرای گربه‌ی شرودینگر چیه»پس توی طرحوارهی شرودینگر باید جایی هم برای گربه‌ش در نظر بگیریم! گربه‌ای که نه معلومه زنده‌ست و نه معلومه مرده‌ست 🙂
به یاد بیاریم که شرودینگر مکانیک موجی رو ساخت و سهم عمده‌ای تو پیشرفت مکانیک کوانتومی داشت.
به سادگی طرح‌واره‌ها رو دانلود کنید،چاپشون کنید و با استفاده الگویی که مشخص کرده تا بزنید. قسمت‌های خاکستری رو جدا کنید. (مطمئین بشید که همه‌ی لایه‌های کاغذ رو جدا کردید.) بعد از اون تاهایی که زدید رو باز کنید و از برف‌دانه‌ی فیزیکی‌تون لذت ببرید. راستی موقع برش زدن مواظب دستاتون باشید!
این ویدیو هم میتونید ببینید و البته بیشتر بخندید تا اینکه چیزی یاد بگیرید:
در قسمت‌های قبل در مورد فرکتال‌ها و ویژگی‌هاشون نوشتم. این قسمت و قسمت بعد در مورد مجموعه‌ای از اعداد که اشکال فرکتالی می‌سازند هست.
به عنوان مقدمه، تابع رو در نظر بگیرید. اگر به عنوان یک نقطه‌ی شروع x=۲ رو به تابع بدیم مقدار تابع میشه ۲ به توان ۲ یعنی ۴. حالا اگر باز این ۴ رو به تابع بدیم، جواب ۱۶ میشه و اگر این روند رو ادامه بدیم به عددهای بزرگتر می‌رسیم. همین طور اگر از نقطه‌ی x=-۳ شروع کنیم، به ۹ و بعد از اون به ۸۱ و مجددا به عددهای بزرگتری می‌رسیم.
هر دوی این نقاط بعد از تکرارهای پی در پی به بینهایت نزدیک میشند. اما اگر این بار یک نقطه از بازه‌ی [۱،۱-] انتخاب کنیم چی؟ مثلا اگر ۰/۵ رو انتخاب کنیم به توان دو که برسه میشه ۲۵/. بعدش ۶۲۵./. و همین طور عددهای بعدی کوچیک و کوچیکتر میشند و به صفر میل کنند.
در حقیقیت هر عددی که انتخاب کنیم در نهایت (پس از تکرارهای پی در پی) سرانجام و عاقبتش دو حالت داره؛ یا خیلی رشد میکنه و به یک حد بی کران میرسه یا اینکه در آخر به یک مقدار ثابت همگرا میشه که برای این تابع اعداد ۱ و ۱- به ۱ همگرا میشند و همه‌ی اعداد حقیقی بین ۱- و ۱ به صفر. اعداد خارج این بازه هم که اصلا همگرا نمیشند!
خب بعد از این مقدمه، به یک تعریف می‌رسیم: «به مجموعه‌ای از شرایط اولیه که پس از تکرارهای پی‌در‌پی توسط یک تابع به بینهایت میل نمی‌کنند، مجموعه‌ی ژولیای آن تابع می‌گویند.» مثلا برای تابعشرایط اولیه (اعداد) عضو بازه‌ی [۱،۱-] پس از تکرارهای پی‌در‌پی به بینهایت نمی‌رسند ولی برای خارج از این بازه این طور نیست و همون جوری که دیدید بعد از تکرارهای پی‌در‌پی به بینهایت می‌رسند. در حقیقت به مجموعه [۱،۱-]=S یک «مجموعه‌ی توپور ژولیا» میگند و منظور از مجموعه ژولیا مرز بین دو مجموعه است؛مجموعه شرایط اولیه‌ای که به بینهایت می‌رسند و مجموعه شرایط اولیه‌ای که به بینهایت نمی‌رسند! یعنی برای تابع مجموعه ژولیا {J ={-1,1 است که شامل دو عدد ۱+ و ۱- می‌باشد! به عبارت دیگه اگر روی محور xها بخواییم مشخص کنیم فقط دو تا نقطه به عنوان مجموعه‌ی ژولیا تابع مشخص میشه؛ x=1 و x= -1!
خب تا اینجا زیاد جذاب نبود و فقط یک تعریف رو مطرح کردیم! حالا برای ایجاد جذابیت بیایید و وارد اعداد موهومی بشیم. تفاوت اعداد حقیقی و موهومی در اینه که اعداد حقیقی روی یک خط هستند ولی اعداد موهومی روی یک صفحه قرار می‌گیرند. هر عدد موهومی به صورت z=a+ib نوشته میشه که a, b هر دو اعداد حقیقی و i واحد موهومی ساز هست جوری که طبق تعریف: i2 = −1 ! اگر با این دسته از اعداد هنوز آشنایی ندارید، سخت نگیرید، ایده‌ی آسونیه، میتونید نگاه کنید به صفحه ویکی‌پدیا یا اینکه اگر اشتیاق بیشتری به یادگیری دارید بهتون پیشنهاد میکنم کتاب «متغیرهای موهومی و کاربردها» نوشته‌ی جیمز براون و روئل چرچیل رو یه نگاهی بندازید! الان همون تابع قبلی رو در فضای موهومی می‌نویسیم:
در مورد این تابع، مجموعه‌ی ژولیا، مجموعه نقاطی هست که روی دایره‌ای به شعاع ۱ و به مرکز مبدا مختصات قرار می‌گیرند. یعنی مجموعه نقاط روی دایره و درون دایره r=1 مجموعه‌ی توپور ژولیا رو می‌سازند. این به خاطر اینه که اعداد موهومی روی صفحه مشخص میشند. (شما این تعبیر رو با نوشتن صورت قطبی اعداد موهومی بهترین میتونید ببینید؛ یادتون باشه که ما دنبال اعدادی هستیم که (z) عضو بازه‌ی [۱،۱-] باشند تا بعد از تکرارهای پی‌در‌پی، اعداد حاصل از به توان ۲ رسوندن به بینهایت میل نکنند! صرفا جهت یادآوری عرض کنم که برای به توان رسوندن یک عدد موهومی z=a+ib مثل به توان رسوندن چند جمله‌ای ها عمل میکنیم ولی به این نکته توجه میکنیم که طبق تعریف i2 = −1 !)
خب یکمی جالب‌تر شد، از دو نقطه‌ی x=1 و x= -1 توی قسمت قبل این دفعه به یک دایره رسیدیم در فضای موهومی. برای جذابیت بیشتر بیایید و این دفعه تابع رو تغییر بدیم و از این تابع استفاده کنیم و ببینیم که چی میشه! یعنی اون نقاطی رو پیدا کنیم که بعد از تکرارهای متوالی توسط این تابع به بینهایت میل نکنند. راستش این دفعه به سادگی دفعه‌ی قبل نیست که بتونیم سریع کل اون اعداد رو حدس بزنیم و مثلا بگیم که ما دنبال اعدادی هستیم که (z) عضو بازه‌ی [۱،۱-] باشند. خب بیایید و چند تا عدد موهومی رو تست کنیم، روش آزمون و خطا؛ چندتا عدد راحت مثل 0 و i و 1+i و یک عدد یکمی ناراحت ( 😀 ) مثل 0.8 + 0.2i
می‌‌بینیم که صفر به طور متناوب به ۱- و صفر میرسه ولی در مورد بقیه اعداد ما، این طوری نیست و مثلا در مورد 1+i همین طور زیاد و زیاد تر میشه.
خب بقیه اعداد رو باید همین جوری با آزمون و خطا پیدا کرد راستش و خب این قدری رنج آوره! اشکال نداره ما خودمون این کارو انجام نمی‌دیم و میذاریم کامپیوتر بقیه اعداد رو پیدا کنه! من تصویری از نقاطی که مشخص شده رو براتون میذارم تا ببینید که این دفعه شکل دیگه دایره نمیشه و یه شکل عجیب درست میشه! فکر نمی‌کنم که این شکل رو می‌شد به این راحتی‌ها حدس زد! برای بهتر دیده شدن تصویر، رزولوشنش رو میشه بیشتر کرد،یعنی تعداد نقاط رو بیشتری رو امتحان کرد:
«این یک شکل خودمتشابه هست!»
اجازه بدید تا یک قسمت از شکل که مشخص کردم رو بزرگترش کنم؛ مثل اینکه سر و کله‌ی فرکتال ها دوباره پیدا شد!
از حالا به بعد هر تابعی که داشته باشیم رو می‌تونیم مجموعه‌ی ژولیا مربوط به اون رو پیدا کنیم.بین توابع، توابعی که به صورت چندجمله‌ای های مربعی هستند بیشتر معروف هستند!
$$ f(z)=z^2 +c ,$$ c:مقدار ثابت
حتما به صفحه‌ی ویکی‌پدیا مجموعه‌ی ژولیا سر بزنید و شکل‌های جالبی که توسط توابع مختلف ساخته شده رو ببینید. علت استفاده از رنگ هم اینه: بسته به این که نقاط با چه آهنگی رشد می‌کنند به اونها یک رنگ خاص اختصاص میدند، ممکنه یک عدد بعد از صد بار تکرار بیشتر از یک میلیون بشه و یک عدد بعد از هزار بار تکرار، این‌ها باید با هم یک فرقی به هر حال داشته باشند دیگه! به عنوان نمونه من چند تا از تصاویر رو میذارم:
توی پست قبلی مقدمهٔ کوتاهی دربارهٔ فرکتال‌ها و اینکه هندسهٔ توصیف گر طبیعت یک هندسهٔ فرکتالی هست یک توضیحاتی دادم. صرف نظر از فرکتال‌های ساختگی (فرکتال‌هایی که ریاضیدان‌ها معمولاً می‌سازند مثل برفدانه کخ) به هر طرف که نگاه کنید میتونید یک فرکتال طبیعی رو مشاهده کنید. سر سفره «کلم ترشی (یا بروکلی)»، کنار ساحل «خطوط ساحلی»، «برگ درخت»، «شش‌ها (ریه)»، «رعد و برق» و … خب این فرکتال‌ها چه ویژگی دارند؟ فرکتال‌ها ۳تا ویژگی خاص دارند که بهشون اشاره میکنم:
۱) فرکتال ها خودمتشابه هستند!
یک گل‌کلم یا کلم بروکلی رو در نظر بگیرید؛ اگه با یک چاقوی تیز، یکی از گلچه‌های گل کلم رو ببرید و جداگانه بهش نگاه کنید؛ چیزی که به نظر میرسه یک گل کلم کامله، اما کوچکتر! اگه باز برش بدید، دوباره، دوباره، دوباره، …، شما گل‌کلم‌های کوچکتری بدست می آرید. به تجربه دیده شده که بعضی از اشکال این خاصیت عجیب رو دارند، یعنی هر قسمت از شکل مثل کل شکله با این تفاوت که اندازه کوچکتری داره. به این خاصیت خود متشابهی میگند. توی برفدانه کخ هم اگر قسمتی از شکل روجدا کنید می‌بینید که دقیقاً مثل کل شکله و این تشابه هیچ وقت قطع نمیشه و همین‌طور ادامه داره! ممکنه که شما بگید یک خط راست هم اگر تکه‌تکه بشه باز هم شکل قسمت اول رو داره پس فرکتاله! اولا اشتباه نکنید یک ویژگی شرط لازمه نه کافی! در ثانی معمولاً منظور ما از خود متشابه بودن، خود متشابه بودن در یک الگوی غیرعادی و غیربدیهیه!
کلم بروکلی، موجودی با ساختار فرکتالی – نمونه یک موجود خودمتشابه 🙂
۲) فرکتال ها دارای بعد غیرصحیح هستند!
همیشه ما با ابعاد صحیح روبه رو بودیم! مثلاً میگیم خط موجودی ۱بعدی، مربع یک شکل ۲ بعدی و مکعب یک شکل ۳بعدیه (ابعاد اقلیدوسی، همه هندسه ای که ما اول یادمی‌گیریم اقلیدوسی هست)! حتی فضا-زمان در نسبیت ۴ بعدیه و نه مثلاً ۳/۴۵ بعدی! همین‌طور نظریه‌هایی مثل ریسمان هم که فراتر از ۳ بعد رفته‌اند هنوز تعداد بعد توجیه کننده‌شون صحیحه مثلاً ۱۱ نه ۱۱/۲۴! ممکنه بپرسید این غیرصحیح بودن بعد فرکتال‌ها دیگه چه صیغه آیه! پس اجازه بدید که «بعد» رو تعریف کنیم. به این شکل نگاه کنید:مطابق شکل، فرض کنید که از یک قطعه شکل سمت چپ میخوایم شکل بزرگتر (با بزرگنمایی ۳ برابر) رو درست کنیم؛ برای این کار به چند قطعهٔ هم اندازه با شکل سمت چپ نیاز داریم؟ برای خط معلومه، اگه همون خط قبلی سه برابر بشه (طولش) شکل جدید حاصل میشه، پس به ۳قطعه هم‌اندازه نیاز داریم. برای مربع هم مثل خط می‌مونه با این تفاوت که هم طولش ۳ برابر میشه و هم عرضش (به شکل نگاه کنید) پس ما به ۹ قطعهٔ هم‌اندازه نیاز داریم؛ و وقتی هم که مکعب میشه، بزرگنمایی هم برای طول و هم برای عرض و هم برای ارتفاع اتفاق افتاده و این دفعه به ۲۷ مکعب نیاز داریم. (به شکل نگاه کنید!) خب این عددهای به دست اومده رو دوباره نگاه کنیم. من توی یک جدول می‌نویسمشون؛
فکر کنم رابطه ای که بین این اعداد هست رو فهمیدید: ۳ و ۹ و ۲۷! یک رابطه که یک تصاعد هندسی هست رسما:
تعداد قطعه هم‌اندازه برای ساخت شکل جدید = بزرگنمایی به توان بعد شکل
از روی این رابطه با استفاده از لگاریتم گیری از طرفین میشه بعد را بدست اورد، یعنی «بعد» میشه:
بعد = لگاریتم تعداد قطعه هم‌اندازه برای ساخت شکل جدید تقسیم بر لگاریتم بزرگنمایی
اگر n تعداد قطعات و m بزرگنمایی باشه:
ما در حقیقت یک تعریف از بعد ارائه کردیم. بعد خودمتشابهی! خب با این تعریف بریم سراغ محاسبه‌ی ابعاد فرکتال ها؛ فرض کنید یک برفدانه به این شکل میسازیم که مثل شکل قبل از یک مربع با (با بزرگنمایی ۳) یک مربع بزرگتر که شامل ۹ مربع هم اندازه با مربع اولیه هست به وجود میاد.
حالا مربع‌های کوچیک بالایی، چپی، راستی و پایینی مربع کوچیک مرکز رو مطابق شکل حذف میکنیم. اگر همین روند رو ادامه بدیم یک برف دانه ساخته میشه! (n روی شکل منظور مرحلهٔ ساخت شکله با n تعداد قطعات کوچکتر اشتباه نگیرید!)
بعد این برفدانه همین جور که می‌بینید یک عدد بین ۱ و ۲ هست! و اینجاست که دیگه بعد، یک عدد صحیح به دست نمیاد. مندلبرو اسم این بعد رو «ناهمواری» میذاشت که تعریف جالب‌تریه مخصوصاً برای اجسامی که دارای برآمدگی هم باشند! چیزی که الان مطرح میشه اینه: معنی این ۱/۴۶۴۹۷ چیه؟ ما میدونیم که یک موجود دو بعدی یعنی اینکه توی صفحه جا میشه و یک موجود یک بعدی یعنی یک خط! پس این عدد بین ۱ و ۲ یعنی چی؟! این به همون ماجرا برمیگرده که وقتی ساختن این شکل رو تا بینهایت ادامه بدیم با یک شکل پر از لبه رو به رو میشیم. در ضمن یادآوری کنم که این فقط یک عدد هست! هر چند مفهوم قشنگی پشتش هست ولی یک عدده که ناهمواری شکل رو مطرح میکنه! به هر حال کاری که ریاضیدان‌ها بکنند قرار نیست واقعاً واقعی باشه 🙂
یک نکتهٔ دیگه اینکه هیچ وقت مطرح نمیشه که «اندازهٔ یک فرکتال» یا «متوسط اندازه یک فرکتال» چقدره بلکه همیشه ما با همین عدد که بعد غیرصحیح یا ناهمواری فرکتال هست کار میکنیم! شما امروز میتونید یه عدد به عنوان ناهمواری به کامپیوتر بدید و اون در کسری از ثانیه یک شکلی با اون ناهمواری رو براتون تولید کنه یا یک شکل دلخواه رو با اون ناهمواری بازتولید کنه! به همین سادگی! تقریباً هندسه فرکتالی پیشرفت زیادی کرد چون سر و کله کامپیوتر پیدا شد. در مورد این توی قسمت آخر بیشتر توضیح میدم!
خب بریم سراغ یه مثال دیگه؛ مثلث سیرپینسکی فرض کنید یک مثلث (متساوی الاضلاع برای قشنگی بیشتر!) داریم. وسط هر ضلعش رو مشخص میکنیم و بهم وصلشون میکنیم تا ۴ تا مثلث جدیدتر ساخته بشه. مثلث وسط رو دور می‌ریزیم. این کارو تا ابد انجام میدم. الان ما یک فرکتال داریم که بعدش ۱/۵۸ هست: این عدد بیشتر از عدد قبل هست، فکر کنم شکل خودش نشون میده که ناهمواری مثلث سیرپینسکی از برف دانه ای که ساختیم بیشتره!
شیوه ایجاد مثلث سیرپینسکی
۳) بعد خود متشابهی فرکتال‌ها از بعد توپولوژیک اونها بیشتره!
این که بعد توپولوژیک دقیقا چیه، چیزیه که از حوصله‌ی این پست خارجه! شاید جداگونه در موردش بنویسم ولی فعلا به عنوان آشنایی، همین جوری که ما بعد خود متشابهی رو به صورت تقسیم دوتا لگاریتم تعریف کردیم میشه یه جور دیگه با ادبیات و شاید بهتره بگم ریاضیات مناسب‌تری بعد رو تعریف کرد و اون موقع یک سری عدد جدید به دست میاریم. این اعداد در مورد فرکتال‌ها جوریه که با مقدار خودمتشابهی شون فرق دارند و کمتر از اونها هستند مثلا بعد توپولوژیکی مثلث سیرپینسکی ۱ و بعد خودمتشابهیش (همین جوری که حساب کردیم) ۱/۵۸۵ هست که ۱/۵۸۵ > ۱!
خب جمع بندی کنیم؛ فرکتال ها دارای سه ویژيگی: ۱) خودمتشابهی ۲) دارای بعدخودمتشابهی غیرصحیح و ۳) بعدتوپولوژیکی کمتر از بعد خودمتشابهی هستند! پیشنهاد میکنم ویدیو زیر رو حتما ببینید؛ سخنرانی مندلبرو (پدر هندسه فرکتالی) در تد هست. درست چندماه بعد از این سخنرانی، مندلبرو، پیرمرد مهربان دنیای فرکتال ها به خاطر سرطان لوزالمعده ای که داشت از دنیا رفت. روحش قرین آرامش باد!
خیلی وقته که از من پرسیده میشه که اگر بخوایم یادگیری 
ر فیزیک هست. ایشون علی‌رغم زندگی مشقت باری که داشته تنها کسی هست که علاوه‌بر نوبل فیزیک(۱۹۰۳) برنده‌ی نوبل شیمی(۱۹۱۱) هم شده! 
رو در نظر بگیرید. اگر به عنوان یک نقطه‌ی شروع x=۲ رو به تابع بدیم مقدار تابع میشه ۲ به توان ۲ یعنی ۴. حالا اگر باز این ۴ رو به تابع بدیم، جواب ۱۶ میشه و اگر این روند رو ادامه بدیم به عددهای بزرگتر می‌رسیم. همین طور اگر از نقطه‌ی x=-۳ شروع کنیم، به ۹ و بعد از اون به ۸۱ و مجددا به عددهای بزرگتری می‌رسیم.
پیدا شد!
